Вариант 4, страница 39 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Квантовая физика. Физика атомного ядра. Контрольная работа. Световые кванты. Атомная и ядерная физика - страница 39.

Условие.

Вариант 4

1. При облучении некоторого металла, работа выхода для которого $3,3 \cdot 10^{-19}$ Дж, электромагнитными волнами с длиной волны 300 нм наблюдается фотоэффект. Во сколько раз эта длина волны меньше длины волны, соответствующей красной границе?

2. Давление света с длиной волны 600 нм на зачернённую поверхность, расположенную перпендикулярно падающему излучению, составляет 0,1 мкПа. Определите концентрацию фотонов в световом пучке.

3. В результате серии радиоактивных распадов изотоп урана $_{92}^{238}\text{U}$ превращается в стабильный изотоп свинца $_{82}^{206}\text{Pb}$. Сколько $\alpha$-распадов и $\beta$-распадов при этом происходит?

4. Сколько атомов полония $_{84}^{210}\text{Po}$ распадётся в течение суток в препарате массой 1 г? Период полураспада полония 138,4 сут.

Решение.

1.

Дано:

Работа выхода, $A_{вых} = 3,3 \cdot 10^{-19}$ Дж
Длина волны, $\lambda = 300$ нм
Постоянная Планка, $h = 6,63 \cdot 10^{-34}$ Дж·с
Скорость света, $c = 3 \cdot 10^8$ м/с

$\lambda = 300 \text{ нм} = 300 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 3 \cdot 10^{-7}$ м

Найти:

$\frac{\lambda_{красн}}{\lambda}$

Решение:

Красная граница фотоэффекта — это максимальная длина волны $\lambda_{красн}$, при которой еще возможен фотоэффект. Энергия фотона при этой длине волны равна работе выхода электрона из металла. Кинетическая энергия фотоэлектронов при этом равна нулю.

Связь работы выхода с длиной волны красной границы определяется формулой:

$A_{вых} = \frac{hc}{\lambda_{красн}}$

Отсюда можно выразить длину волны, соответствующую красной границе:

$\lambda_{красн} = \frac{hc}{A_{вых}}$

Подставим числовые значения:

$\lambda_{красн} = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{3,3 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}} = \frac{19,89 \cdot 10^{-26}}{3,3 \cdot 10^{-19}} \text{ м} \approx 6,03 \cdot 10^{-7}$ м

Теперь найдем, во сколько раз данная длина волны меньше длины волны красной границы, то есть найдем отношение $\frac{\lambda_{красн}}{\lambda}$:

$\frac{\lambda_{красн}}{\lambda} = \frac{6,03 \cdot 10^{-7} \text{ м}}{3 \cdot 10^{-7} \text{ м}} \approx 2,01$

Ответ: Длина волны 300 нм примерно в 2 раза меньше длины волны, соответствующей красной границе.

2.

Дано:

Длина волны, $\lambda = 600$ нм
Давление света, $p = 0,1$ мкПа
Постоянная Планка, $h = 6,63 \cdot 10^{-34}$ Дж·с
Скорость света, $c = 3 \cdot 10^8$ м/с

$\lambda = 600 \text{ нм} = 600 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 6 \cdot 10^{-7}$ м
$p = 0,1 \text{ мкПа} = 0,1 \cdot 10^{-6} \text{ Па} = 10^{-7}$ Па

Найти:

Концентрация фотонов, $n$

Решение:

Давление света на зачернённую (полностью поглощающую) поверхность, расположенную перпендикулярно лучам, равно объёмной плотности энергии электромагнитного излучения:

$p = w$

Объёмная плотность энергии $w$ может быть выражена через концентрацию фотонов $n$ (число фотонов в единице объёма) и энергию одного фотона $E_{ф}$:

$w = n \cdot E_{ф}$

Энергия одного фотона определяется формулой Планка:

$E_{ф} = \frac{hc}{\lambda}$

Объединяя формулы, получаем:

$p = n \cdot \frac{hc}{\lambda}$

Отсюда выражаем концентрацию фотонов $n$:

$n = \frac{p \lambda}{hc}$

Подставим числовые значения:

$n = \frac{10^{-7} \text{ Па} \cdot 6 \cdot 10^{-7} \text{ м}}{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}} = \frac{6 \cdot 10^{-14}}{19,89 \cdot 10^{-26}} \text{ м}^{-3} \approx 3,02 \cdot 10^{11} \text{ м}^{-3}$

Ответ: Концентрация фотонов в световом пучке составляет примерно $3,02 \cdot 10^{11}$ м⁻³.

3.

Решение:

Рассмотрим общий вид цепочки распадов. Пусть произошло $x$ альфа-распадов и $y$ бета-распадов. Альфа-распад представляет собой испускание ядра гелия ${}_{2}^{4}\text{He}$. При каждом $\alpha$-распаде массовое число $A$ ядра уменьшается на 4, а зарядовое число $Z$ — на 2.

Бета-распад (в данном случае $\beta^{-}$-распад) представляет собой испускание электрона ${}_{-1}^{0}\text{e}$. При каждом $\beta$-распаде массовое число $A$ не изменяется, а зарядовое число $Z$ увеличивается на 1.

Таким образом, уравнение превращения урана-238 в свинец-206 можно записать в виде:

${}_{92}^{238}\text{U} \rightarrow {}_{82}^{206}\text{Pb} + x \cdot {}_{2}^{4}\text{He} + y \cdot {}_{-1}^{0}\text{e}$

Составим два уравнения, основываясь на законах сохранения массового и зарядового чисел.

1. Закон сохранения массового числа (сумма верхних индексов слева и справа должна быть равна):

$238 = 206 + 4x + 0y$

$4x = 238 - 206$

$4x = 32$

$x = 8$

Следовательно, в процессе превращения происходит 8 $\alpha$-распадов.

2. Закон сохранения зарядового числа (сумма нижних индексов слева и справа должна быть равна):

$92 = 82 + 2x - y$

Подставим найденное значение $x=8$:

$92 = 82 + 2 \cdot 8 - y$

$92 = 82 + 16 - y$

$92 = 98 - y$

$y = 98 - 92$

$y = 6$

Следовательно, в процессе превращения происходит 6 $\beta$-распадов.

Ответ: Происходит 8 $\alpha$-распадов и 6 $\beta$-распадов.

4.

Дано:

Изотоп: ${}_{84}^{210}\text{Po}$
Масса препарата, $m = 1$ г
Время, $t = 1$ сут
Период полураспада, $T = 138,4$ сут
Молярная масса полония-210, $M \approx 210$ г/моль
Число Авогадро, $N_A = 6,022 \cdot 10^{23}$ моль⁻¹

Найти:

Число распавшихся атомов, $\Delta N$

Решение:

1. Найдем начальное число атомов полония $N_0$ в препарате массой 1 г:

$N_0 = \frac{m}{M} N_A$

$N_0 = \frac{1 \text{ г}}{210 \text{ г/моль}} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 2,868 \cdot 10^{21}$ атомов

2. Число атомов, оставшихся через время $t$, определяется законом радиоактивного распада:

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T}$

3. Число распавшихся атомов $\Delta N$ равно разности между начальным числом атомов и числом оставшихся атомов:

$\Delta N = N_0 - N(t) = N_0 - N_0 \cdot 2^{-t/T} = N_0(1 - 2^{-t/T})$

Поскольку время наблюдения $t=1$ сут значительно меньше периода полураспада $T=138,4$ сут ($t \ll T$), можно использовать приближенную формулу. Число распадов за малый промежуток времени $\Delta t$ равно $\Delta N \approx \lambda N_0 \Delta t$, где $\lambda$ — постоянная распада. Постоянная распада связана с периодом полураспада соотношением $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$.

Тогда:

$\Delta N \approx \frac{\ln 2}{T} N_0 t$

Подставим числовые значения. Единицы измерения времени для $t$ и $T$ совпадают (сутки), поэтому их можно не переводить в СИ.

$\Delta N \approx \frac{\ln 2}{138,4 \text{ сут}} \cdot (2,868 \cdot 10^{21}) \cdot 1 \text{ сут}$

$\Delta N \approx \frac{0,693}{138,4} \cdot 2,868 \cdot 10^{21} \approx 0,005007 \cdot 2,868 \cdot 10^{21} \approx 1,436 \cdot 10^{19}$ атомов

Ответ: В течение суток распадётся примерно $1,44 \cdot 10^{19}$ атомов полония.