Номер 1, страница 43 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Кинематика. Задачи для повторения - номер 1, страница 43.

Условие.

1. Человек идёт по горизонтальной дорожке со скоростью 1,04 м/с и проходит под фонарём, расположенным на высоте 7 м от земли. Определите скорость перемещения тени, если рост человека 180 см.

Решение.

Дано:

Скорость человека, $v_{чел} = 1,04$ м/с
Высота фонаря, $H = 7$ м
Рост человека, $h = 180$ см = $1,8$ м

Найти:

Скорость перемещения тени, $v_{тени}$ - ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом подобия треугольников. Представим себе вид сбоку: фонарь, человек и его тень на земле. Мы получим два прямоугольных треугольника, которые подобны друг другу, так как у них есть общий острый угол (угол падения луча света на землю) и по одному прямому углу.

Первый, большой треугольник, образован высотой фонаря $H$ (катет), расстоянием от основания фонаря до конца тени $S$ (второй катет) и лучом света от фонаря к концу тени (гипотенуза).

Второй, малый треугольник, образован ростом человека $h$ (катет), длиной его тени $L$ (второй катет) и тем же лучом света (гипотенуза).

Из подобия этих треугольников следует соотношение их катетов:

$\frac{H}{h} = \frac{S}{L}$

Пусть $x$ — это расстояние, на которое человек удалился от основания фонаря. Тогда расстояние от основания фонаря до конца тени $S$ будет равно сумме расстояния, которое прошел человек, и длины его тени: $S = x + L$.

Подставим это выражение в наше соотношение:

$\frac{H}{h} = \frac{x + L}{L}$

Разделим правую часть почленно:

$\frac{H}{h} = \frac{x}{L} + 1$

Выразим отсюда длину тени $L$ через расстояние $x$:

$\frac{x}{L} = \frac{H}{h} - 1 = \frac{H - h}{h}$

$L = x \cdot \frac{h}{H - h}$

Теперь найдем положение конца тени $S$ относительно основания фонаря:

$S = x + L = x + x \cdot \frac{h}{H - h} = x \left( 1 + \frac{h}{H - h} \right) = x \left( \frac{H - h + h}{H - h} \right) = x \cdot \frac{H}{H - h}$

Скорость перемещения конца тени $v_{тени}$ — это производная от её положения $S$ по времени $t$. Скорость человека $v_{чел}$ — это производная от его положения $x$ по времени $t$.

$v_{тени} = \frac{dS}{dt}$ и $v_{чел} = \frac{dx}{dt}$

Продифференцируем выражение для $S$ по времени, учитывая, что $H$ и $h$ — константы:

$\frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt} \left( x \cdot \frac{H}{H - h} \right) = \frac{dx}{dt} \cdot \frac{H}{H - h}$

Таким образом, мы получили связь между скоростями:

$v_{тени} = v_{чел} \cdot \frac{H}{H - h}$

Подставим известные значения в полученную формулу:

$v_{тени} = 1,04 \frac{м}{с} \cdot \frac{7 м}{7 м - 1,8 м} = 1,04 \cdot \frac{7}{5,2} = \frac{7,28}{5,2} = 1,4$ м/с.

Ответ: скорость перемещения тени равна 1,4 м/с.