Номер 3, страница 43 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Кинематика. Задачи для повторения - номер 3, страница 43.

Условие.

3. Самолёт летит из пункта $A$ в пункт $B$ и обратно. Докажите, что в безветренную погоду время полёта меньше, чем при наличии ветра.

Решение.

Дано:

$L$ - расстояние между пунктами А и В.

$v$ - собственная скорость самолёта (скорость относительно воздуха).

$u$ - скорость ветра относительно земли.

Считаем, что $v > u$, так как в противном случае самолёт не сможет лететь против ветра.

Найти:

Доказать, что время полёта туда и обратно в безветренную погоду ($T_{безветр}$) меньше, чем время полёта при наличии ветра ($T_{ветер}$), то есть $T_{безветр} < T_{ветер}$.

Решение:

1. Рассчитаем время полёта в безветренную погоду.

В отсутствие ветра ($u=0$) скорость самолёта относительно земли равна его собственной скорости $v$.

Время полёта из пункта А в пункт В: $t_1 = \frac{L}{v}$.

Время полёта обратно из пункта В в пункт А: $t_2 = \frac{L}{v}$.

Общее время полёта туда и обратно в безветренную погоду составит:

$T_{безветр} = t_1 + t_2 = \frac{L}{v} + \frac{L}{v} = \frac{2L}{v}$.

2. Рассчитаем время полёта при наличии ветра.

Для простоты и наглядности рассмотрим случай, когда ветер дует вдоль прямой, соединяющей пункты А и В. Пусть направление ветра совпадает с направлением полёта из А в В.

При полёте из А в В ветер является попутным, и скорость самолёта относительно земли равна сумме скоростей: $v_{АВ} = v + u$.

Время полёта из А в В: $t'_{1} = \frac{L}{v + u}$.

При полёте обратно из В в А ветер является встречным, и скорость самолёта относительно земли равна разности скоростей: $v_{ВА} = v - u$.

Время полёта из В в А: $t'_{2} = \frac{L}{v - u}$.

Общее время полёта туда и обратно в ветреную погоду составит:

$T_{ветер} = t'_{1} + t'_{2} = \frac{L}{v + u} + \frac{L}{v - u}$.

3. Сравним полученные времена.

Приведём выражение для $T_{ветер}$ к общему знаменателю:

$T_{ветер} = L \left( \frac{1}{v + u} + \frac{1}{v - u} \right) = L \frac{(v - u) + (v + u)}{(v + u)(v - u)} = L \frac{2v}{v^2 - u^2}$.

Теперь сравним $T_{безветр} = \frac{2L}{v}$ и $T_{ветер} = \frac{2Lv}{v^2 - u^2}$.

Выразим $T_{ветер}$ через $T_{безветр}$:

$T_{ветер} = \frac{2L}{v} \cdot \frac{v^2}{v^2 - u^2} = T_{безветр} \cdot \frac{v^2}{v^2 - u^2}$.

Поскольку ветер существует, его скорость $u > 0$, а значит $u^2 > 0$.

Из этого следует, что знаменатель $v^2 - u^2$ меньше числителя $v^2$.

Таким образом, множитель $\frac{v^2}{v^2 - u^2} > 1$.

Получаем, что $T_{ветер} = T_{безветр} \cdot (\text{число, которое больше 1})$, следовательно, $T_{ветер} > T_{безветр}$.

Это означает, что выигрыш во времени при движении с попутным ветром всегда меньше, чем проигрыш во времени при движении против встречного ветра той же силы. Это происходит из-за того, что самолёт дольше летит с меньшей скоростью (против ветра), чем с большей (по ветру).

Ответ:

Мы доказали, что $T_{ветер} > T_{безветр}$, то есть время полёта в безветренную погоду меньше, чем при наличии ветра. Что и требовалось доказать.