Номер 10, страница 43 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Кинематика. Задачи для повторения - номер 10, страница 43.

Условие.

10. Материальная точка движется вдоль прямой согласно уравнению $x = 5 - 4t + 2t^2$. Какой путь точка пройдёт за 4 с?

Решение.

Дано:

Уравнение движения материальной точки: $x(t) = 5 - 4t + 2t^2$

Интервал времени: от $t_0 = 0$ с до $t_k = 4$ с

Все величины заданы в Международной системе единиц (СИ).

Найти:

Путь $S$, пройденный точкой за 4 с.

Решение:

Путь — это длина траектории, пройденная телом. В отличие от перемещения, которое является вектором, путь — скалярная величина и всегда неотрицателен. Если тело движется вдоль прямой без смены направления, путь равен модулю перемещения. Если направление движения меняется, путь будет больше модуля перемещения.

Чтобы определить, меняет ли точка направление движения, нужно проанализировать ее скорость. Скорость является первой производной от координаты по времени.

Найдем уравнение скорости $v(t)$:

$v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(5 - 4t + 2t^2) = -4 + 4t$

Смена направления движения происходит в тот момент, когда скорость равна нулю. Найдем этот момент времени:

$v(t) = 0 \implies -4 + 4t = 0$

$4t = 4$

$t = 1$ с

Так как момент времени $t = 1$ с принадлежит рассматриваемому интервалу $[0, 4]$ с, это означает, что точка меняет направление своего движения. Следовательно, для вычисления общего пути нужно рассчитать путь на двух участках: от $t = 0$ с до $t = 1$ с и от $t = 1$ с до $t = 4$ с.

Найдем координаты точки в ключевые моменты времени: начальный ($t=0$ с), момент разворота ($t=1$ с) и конечный ($t=4$ с).

При $t = 0$ с:

$x(0) = 5 - 4(0) + 2(0)^2 = 5$ м

При $t = 1$ с:

$x(1) = 5 - 4(1) + 2(1)^2 = 5 - 4 + 2 = 3$ м

При $t = 4$ с:

$x(4) = 5 - 4(4) + 2(4)^2 = 5 - 16 + 2 \cdot 16 = 5 - 16 + 32 = 21$ м

Теперь рассчитаем путь на каждом участке.

Путь на первом участке (от $t=0$ с до $t=1$ с):

$S_1 = |x(1) - x(0)| = |3 - 5| = |-2| = 2$ м

Путь на втором участке (от $t=1$ с до $t=4$ с):

$S_2 = |x(4) - x(1)| = |21 - 3| = |18| = 18$ м

Общий путь, пройденный точкой за 4 секунды, равен сумме путей на этих двух участках:

$S = S_1 + S_2 = 2 \text{ м} + 18 \text{ м} = 20$ м

Ответ: 20 м.