Номер 9, страница 43 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Кинематика. Задачи для повторения - номер 9, страница 43.

Условие.

9. Средняя скорость пешехода составляет $4 \text{ км/ч}$. Во сколько раз отличается его скорость на первой половине пути от скорости на второй половине, если на втором участке пути она равна $3 \text{ км/ч}$?

Решение.

Дано:

Средняя скорость пешехода, $v_{ср} = 4$ км/ч.

Скорость на второй половине пути, $v_2 = 3$ км/ч.

Путь разделен на две равные части: $S_1 = S_2 = S/2$.

$v_{ср} = 4 \text{ км/ч} = 4 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} \approx 1.11 \text{ м/с}$
$v_2 = 3 \text{ км/ч} = 3 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} \approx 0.83 \text{ м/с}$

Найти:

Отношение скорости на первой половине пути к скорости на второй, то есть $\frac{v_1}{v_2}$.

Решение:

Средняя скорость вычисляется по формуле: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$, где $S_{общ}$ — весь пройденный путь, а $t_{общ}$ — всё время движения.

Пусть весь путь равен $S$. Так как путь разделен на две равные половины, то $S_1 = S_2 = S/2$.

Время, затраченное на прохождение первой половины пути, равно $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S/2}{v_1}$.

Время, затраченное на прохождение второй половины пути, равно $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S/2}{v_2}$.

Общее время движения составляет $t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{2v_1} + \frac{S}{2v_2}$.

Подставим выражения для общего пути $S$ и общего времени $t_{общ}$ в формулу средней скорости:

$v_{ср} = \frac{S}{\frac{S}{2v_1} + \frac{S}{2v_2}}$

Можно сократить $S$ в числителе и знаменателе:

$v_{ср} = \frac{1}{\frac{1}{2v_1} + \frac{1}{2v_2}} = \frac{1}{\frac{v_2 + v_1}{2v_1v_2}} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$

Теперь из этой формулы выразим неизвестную скорость на первом участке пути $v_1$:

$v_{ср}(v_1 + v_2) = 2v_1v_2$

$v_{ср}v_1 + v_{ср}v_2 = 2v_1v_2$

$v_{ср}v_2 = 2v_1v_2 - v_{ср}v_1$

$v_{ср}v_2 = v_1(2v_2 - v_{ср})$

$v_1 = \frac{v_{ср}v_2}{2v_2 - v_{ср}}$

Подставим числовые значения, данные в условии задачи ($v_{ср} = 4$ км/ч, $v_2 = 3$ км/ч):

$v_1 = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 3 - 4} = \frac{12}{6 - 4} = \frac{12}{2} = 6$ км/ч.

Чтобы найти, во сколько раз скорость на первой половине пути отличается от скорости на второй, найдем их отношение:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{6 \text{ км/ч}}{3 \text{ км/ч}} = 2$

Ответ: Скорость на первой половине пути в 2 раза больше скорости на второй половине.