Номер 7, страница 43 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Кинематика. Задачи для повторения - номер 7, страница 43.

Условие.

7. Автомобиль половину пути проехал со скоростью 10 м/с, оставшуюся часть пути он половину времени ехал со скоростью 18 км/ч, а последний участок — со скоростью 90 км/ч. Определите среднюю скорость движения автомобиля.

Решение.

Дано:

$S_1 = S/2$ (первая половина пути)

$v_1 = 10 \text{ м/с}$

На второй половине пути ($S_2 = S/2$):

$t_{2a} = t_{2b}$ (половину времени ехал со скоростью $v_2$, другую половину времени - со скоростью $v_3$)

$v_2 = 18 \text{ км/ч}$

$v_3 = 90 \text{ км/ч}$

Перевод в систему СИ:

$v_2 = 18 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 18 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 5 \text{ м/с}$

$v_3 = 90 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 90 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 25 \text{ м/с}$

Найти:

$v_{ср}$ - среднюю скорость движения автомобиля.

Решение:

Средняя скорость определяется как отношение всего пройденного пути ко всему времени движения:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Пусть весь путь равен $S$. Тогда $S_{общ} = S$.

Весь путь разделим на два участка. Первый участок $S_1 = S/2$ автомобиль проехал со скоростью $v_1$. Время, затраченное на этот участок:

$t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S}{2v_1}$

Второй участок пути $S_2$ также равен $S/2$. Этот участок автомобиль ехал в течение времени $t_2$. По условию, половину этого времени, то есть $t_2/2$, он двигался со скоростью $v_2$, а другую половину времени $t_2/2$ — со скоростью $v_3$.

Путь, пройденный за первую половину времени на втором участке: $S_{2a} = v_2 \cdot \frac{t_2}{2}$.

Путь, пройденный за вторую половину времени на втором участке: $S_{2b} = v_3 \cdot \frac{t_2}{2}$.

Весь второй участок пути: $S_2 = S_{2a} + S_{2b} = v_2 \frac{t_2}{2} + v_3 \frac{t_2}{2} = (v_2 + v_3)\frac{t_2}{2}$.

Так как $S_2 = S/2$, мы можем выразить время $t_2$ через путь $S$ и скорости:

$\frac{S}{2} = (v_2 + v_3)\frac{t_2}{2}$

$S = (v_2 + v_3)t_2$

$t_2 = \frac{S}{v_2 + v_3}$

Теперь найдем общее время движения:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{2v_1} + \frac{S}{v_2 + v_3} = S \cdot (\frac{1}{2v_1} + \frac{1}{v_2 + v_3})$

Подставим общее время и общий путь в формулу для средней скорости:

$v_{ср} = \frac{S}{S \cdot (\frac{1}{2v_1} + \frac{1}{v_2 + v_3})} = \frac{1}{\frac{1}{2v_1} + \frac{1}{v_2 + v_3}}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$v_1 = 10 \text{ м/с}$, $v_2 = 5 \text{ м/с}$, $v_3 = 25 \text{ м/с}$.

$v_{ср} = \frac{1}{\frac{1}{2 \cdot 10} + \frac{1}{5 + 25}} = \frac{1}{\frac{1}{20} + \frac{1}{30}}$

Приведем дроби к общему знаменателю 60:

$v_{ср} = \frac{1}{\frac{3}{60} + \frac{2}{60}} = \frac{1}{\frac{5}{60}} = \frac{60}{5} = 12 \text{ м/с}$

Ответ: средняя скорость движения автомобиля равна $12 \text{ м/с}$.