Номер 6, страница 43 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Кинематика. Задачи для повторения - номер 6, страница 43.

Условие.

6. Человек идёт по ходу движения эскалатора. За время своего движения он насчитал 50 ступеней. Когда он двигался в 3 раза быстрее, количество ступеней оказалось равным 75. Сколько ступеней ему придётся пройти по неподвижному эскалатору?

Решение.

Дано:

$n_1 = 50$ ступеней

$n_2 = 75$ ступеней

$v_{ч2} = 3v_{ч1}$

Найти:

$N$ - количество ступеней на неподвижном эскалаторе.

Решение:

Пусть $N$ - это общее количество ступеней на эскалаторе, которое видно в любой момент времени, если бы он был неподвижен. Это и есть искомая величина.

Пусть $v_ч$ - начальная скорость человека относительно эскалатора (в ступенях в секунду), а $v_э$ - скорость эскалатора (в ступенях в секунду).

Общее количество ступеней $N$ равно сумме ступеней, которые прошел человек ($n$), и ступеней, которые "проехали" под ним за время его движения ($n_э$).

$N = n + n_э$

Рассмотрим первый случай:

Человек прошел $n_1 = 50$ ступеней со скоростью $v_{ч1}$. Время его движения $t_1$ можно выразить как:

$t_1 = \frac{n_1}{v_{ч1}} = \frac{50}{v_{ч1}}$

За это время эскалатор сместился на $n_{э1} = v_э \cdot t_1$ ступеней. Подставим выражение для $t_1$:

$n_{э1} = v_э \cdot \frac{50}{v_{ч1}} = 50 \frac{v_э}{v_{ч1}}$

Тогда полное число ступеней на эскалаторе:

$N = n_1 + n_{э1} = 50 + 50 \frac{v_э}{v_{ч1}}$

Рассмотрим второй случай:

Человек двигался в 3 раза быстрее, то есть его скорость была $v_{ч2} = 3v_{ч1}$. Он прошел $n_2 = 75$ ступеней. Время его движения $t_2$ равно:

$t_2 = \frac{n_2}{v_{ч2}} = \frac{75}{3v_{ч1}} = \frac{25}{v_{ч1}}$

За это время эскалатор сместился на $n_{э2} = v_э \cdot t_2$ ступеней. Подставим выражение для $t_2$:

$n_{э2} = v_э \cdot \frac{25}{v_{ч1}} = 25 \frac{v_э}{v_{ч1}}$

Полное число ступеней на эскалаторе (которое не изменилось):

$N = n_2 + n_{э2} = 75 + 25 \frac{v_э}{v_{ч1}}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными: $N$ и отношением скоростей $\frac{v_э}{v_{ч1}}$. Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны $N$:

$50 + 50 \frac{v_э}{v_{ч1}} = 75 + 25 \frac{v_э}{v_{ч1}}$

Перенесем слагаемые с отношением скоростей в левую часть, а числа - в правую:

$50 \frac{v_э}{v_{ч1}} - 25 \frac{v_э}{v_{ч1}} = 75 - 50$

$25 \frac{v_э}{v_{ч1}} = 25$

$\frac{v_э}{v_{ч1}} = 1$

Это означает, что начальная скорость человека была равна скорости эскалатора.

Теперь подставим найденное отношение скоростей в любое из уравнений для $N$. Возьмем первое:

$N = 50 + 50 \cdot 1 = 100$

Таким образом, на неподвижном эскалаторе 100 ступеней.

Ответ: 100 ступеней.