Номер 5, страница 43 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Кинематика. Задачи для повторения - номер 5, страница 43.

Условие.

5. Человек идёт по движущемуся эскалатору и поднимается наверх за 60 с. Если он будет идти по движущемуся эскалатору в 2 раза быстрее, то потратит на подъём 45 с. Сколько времени он будет подниматься, стоя на движущемся эскалаторе?

Решение.

Дано:

$t_1 = 60$ с – время подъема, когда человек идет по эскалатору.

$t_2 = 45$ с – время подъема, когда человек идет по эскалатору в 2 раза быстрее.

Найти:

$t_э$ – время подъема, когда человек стоит на эскалаторе.

Решение:

Введем обозначения:

$L$ – длина эскалатора.

$v_ч$ – скорость человека относительно эскалатора (в первом случае).

$v_э$ – скорость эскалатора относительно земли.

Когда человек идет по движущемуся вверх эскалатору, его скорость относительно земли складывается из его собственной скорости и скорости эскалатора.

1. В первом случае суммарная скорость человека равна $v_1 = v_ч + v_э$. Длина эскалатора связана со временем и скоростью соотношением:

$L = (v_ч + v_э) \cdot t_1$

$L = (v_ч + v_э) \cdot 60$

2. Во втором случае человек идет в два раза быстрее, т.е. его скорость относительно эскалатора равна $2v_ч$. Суммарная скорость равна $v_2 = 2v_ч + v_э$. Тогда:

$L = (2v_ч + v_э) \cdot t_2$

$L = (2v_ч + v_э) \cdot 45$

Так как длина эскалатора $L$ в обоих случаях одинакова, мы можем приравнять правые части полученных уравнений:

$60 \cdot (v_ч + v_э) = 45 \cdot (2v_ч + v_э)$

Раскроем скобки:

$60v_ч + 60v_э = 90v_ч + 45v_э$

Сгруппируем слагаемые с $v_ч$ и $v_э$:

$60v_э - 45v_э = 90v_ч - 60v_ч$

$15v_э = 30v_ч$

Отсюда находим соотношение между скоростью эскалатора и скоростью человека:

$v_э = 2v_ч$

3. Теперь найдем время $t_э$, за которое человек поднимется, просто стоя на эскалаторе. В этом случае его скорость относительно земли будет равна скорости эскалатора $v_э$.

$L = v_э \cdot t_э$

Отсюда $t_э = \frac{L}{v_э}$.

Выразим длину эскалатора $L$ через $v_э$ из первого уравнения, используя найденное соотношение $v_ч = \frac{v_э}{2}$:

$L = (v_ч + v_э) \cdot 60 = (\frac{v_э}{2} + v_э) \cdot 60 = (\frac{3}{2}v_э) \cdot 60 = 90v_э$

Подставим это выражение для $L$ в формулу для $t_э$:

$t_э = \frac{90v_э}{v_э} = 90$ с

Ответ: 90 с.