Номер 16, страница 44 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Кинематика. Задачи для повторения - номер 16, страница 44.

Условие.

16. Тело начало движение вдоль прямой с начальной скоростью $20 \text{ м/с}$ и ускорением $1 \text{ м/с}^2$. Через $0,5 \text{ мин}$ из той же точки в том же направлении начинает движение другое тело без начальной скорости и с ускорением $2 \text{ м/с}^2$. За какое время второе тело догонит первое?

Решение.

Дано:

Для первого тела:
Начальная скорость, $v_{01} = 20$ м/с
Ускорение, $a_1 = 1$ м/с²
Для второго тела:
Начальная скорость, $v_{02} = 0$ м/с
Ускорение, $a_2 = 2$ м/с²
Задержка старта второго тела, $\Delta t = 0,5$ мин

$ \Delta t = 0,5 \text{ мин} = 0,5 \cdot 60 \text{ с} = 30 \text{ с} $

Найти:

Время движения второго тела до момента, когда оно догонит первое тело, $t_2$ - ?

Решение:

Запишем уравнения движения для обоих тел в системе отсчета, связанной с точкой старта. Ось Ох направим в сторону движения. Общий вид уравнения движения при равноускоренном движении: $x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2}$. Так как оба тела стартуют из одной точки, примем $x_0 = 0$.

Пусть $t_1$ — время движения первого тела, а $t_2$ — время движения второго тела.

Уравнение движения для первого тела: $x_1(t_1) = v_{01} t_1 + \frac{a_1 t_1^2}{2} = 20t_1 + \frac{1 \cdot t_1^2}{2} = 20t_1 + 0,5t_1^2$.

Уравнение движения для второго тела: $x_2(t_2) = v_{02} t_2 + \frac{a_2 t_2^2}{2} = 0 \cdot t_2 + \frac{2 \cdot t_2^2}{2} = t_2^2$.

Второе тело начинает движение на $\Delta t = 30$ с позже первого. Это означает, что в любой момент времени, когда второе тело движется в течение времени $t_2$, первое тело уже движется в течение времени $t_1 = t_2 + \Delta t = t_2 + 30$.

Второе тело догонит первое, когда их координаты станут равны: $x_1 = x_2$. Подставим в это равенство уравнения движения и связь между временами: $20t_1 + 0,5t_1^2 = t_2^2$
$20(t_2 + 30) + 0,5(t_2 + 30)^2 = t_2^2$.

Теперь решим это уравнение относительно $t_2$. Раскроем скобки: $20t_2 + 600 + 0,5(t_2^2 + 60t_2 + 900) = t_2^2$
$20t_2 + 600 + 0,5t_2^2 + 30t_2 + 450 = t_2^2$
Приведем подобные слагаемые: $0,5t_2^2 + 50t_2 + 1050 = t_2^2$.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $t_2^2 - 0,5t_2^2 - 50t_2 - 1050 = 0$
$0,5t_2^2 - 50t_2 - 1050 = 0$
Умножим обе части на 2: $t_2^2 - 100t_2 - 2100 = 0$.

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2100) = 10000 + 8400 = 18400$.
Найдем корни уравнения: $t_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{100 \pm \sqrt{18400}}{2} = \frac{100 \pm \sqrt{400 \cdot 46}}{2} = \frac{100 \pm 20\sqrt{46}}{2} = 50 \pm 10\sqrt{46}$.

Уравнение имеет два корня: $t_{2,1} = 50 + 10\sqrt{46}$ и $t_{2,2} = 50 - 10\sqrt{46}$. Поскольку время движения не может быть отрицательной величиной, а $10\sqrt{46} \approx 10 \cdot 6,78 = 67,8$, то корень $t_{2,2} = 50 - 10\sqrt{46} \approx 50 - 67,8 = -17,8$ с не имеет физического смысла. Следовательно, решением является положительный корень.

Ответ: второе тело догонит первое через $(50 + 10\sqrt{46})$ с, что приблизительно равно 117,8 с.