Номер 21, страница 44 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Кинематика. Задачи для повторения - номер 21, страница 44.

Условие.

21. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 25 м/с. Какой путь преодолеет тело за третью секунду движения?

Решение.

Дано

$v_0 = 25$ м/с

Примем ускорение свободного падения $g = 10$ м/с$^2$.

Найти:

$S_3$ — путь, пройденный за третью секунду движения.

Решение

Движение тела, брошенного вертикально вверх, является равноускоренным с ускорением $g$, направленным вниз. Выберем ось OY, направленную вертикально вверх, с началом в точке броска. Тогда уравнение координаты тела в зависимости от времени $t$ имеет вид:

$y(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

Третья секунда движения — это промежуток времени от $t_1 = 2$ с до $t_2 = 3$ с. Чтобы найти пройденный путь, нужно учитывать возможное изменение направления движения тела. Для этого определим момент времени $t_{max}$, когда тело достигнет максимальной высоты. В этой точке его скорость станет равной нулю.

Уравнение скорости: $v(t) = v_0 - gt$.

Приравняем скорость к нулю:

$0 = v_0 - gt_{max}$

$t_{max} = \frac{v_0}{g} = \frac{25 \text{ м/с}}{10 \text{ м/с}^2} = 2.5$ с

Поскольку момент времени $t_{max} = 2.5$ с находится внутри рассматриваемого интервала [2 с, 3 с], то в течение третьей секунды тело сначала движется вверх (в промежутке от 2 с до 2.5 с), а затем — вниз (в промежутке от 2.5 с до 3 с).

Общий путь за третью секунду будет равен сумме путей, пройденных телом вверх и вниз:

$S_3 = S_{вверх} + S_{вниз}$

Найдем координаты тела в моменты времени $t=2$ с, $t=2.5$ с и $t=3$ с.

$y(2) = 25 \cdot 2 - \frac{10 \cdot 2^2}{2} = 50 - 20 = 30$ м

$y(2.5) = 25 \cdot 2.5 - \frac{10 \cdot (2.5)^2}{2} = 62.5 - \frac{10 \cdot 6.25}{2} = 62.5 - 31.25 = 31.25$ м

$y(3) = 25 \cdot 3 - \frac{10 \cdot 3^2}{2} = 75 - 45 = 30$ м

Путь вверх с 2 с до 2.5 с:

$S_{вверх} = |y(2.5) - y(2)| = |31.25 - 30| = 1.25$ м

Путь вниз с 2.5 с до 3 с:

$S_{вниз} = |y(3) - y(2.5)| = |30 - 31.25| = |-1.25| = 1.25$ м

Суммарный путь за третью секунду:

$S_3 = S_{вверх} + S_{вниз} = 1.25 \text{ м} + 1.25 \text{ м} = 2.5$ м

Ответ: 2.5 м.