Номер 24, страница 45 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Кинематика. Задачи для повторения - номер 24, страница 45.

Условие.

24. Докажите, что максимальная дальность полёта тела, брошенного под углом к горизонту, будет при угле $45^\circ$.

Решение.

Дано:

Начальная скорость тела: $v_0$.
Угол броска к горизонту: $\alpha$.
Ускорение свободного падения: $g$.

Найти:

Доказать, что дальность полета $L$ максимальна при $\alpha = 45^\circ$.

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно разложить на два независимых движения: равномерное движение вдоль горизонтальной оси (оси Ox) и равноускоренное движение вдоль вертикальной оси (оси Oy). Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Проекции начальной скорости на оси координат:

$v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$

$v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$

Запишем уравнения движения для координат тела в любой момент времени $t$:

По оси Ox: $x(t) = v_{0x} t = v_0 \cos(\alpha) t$

По оси Oy: $y(t) = v_{0y} t - \frac{g t^2}{2} = v_0 \sin(\alpha) t - \frac{g t^2}{2}$

Для определения дальности полета $L$ необходимо сначала найти общее время полета $T$. Полет заканчивается, когда тело возвращается на начальную высоту, то есть когда его вертикальная координата $y(T)$ снова становится равной нулю.

$y(T) = v_0 \sin(\alpha) T - \frac{g T^2}{2} = 0$

$T \left( v_0 \sin(\alpha) - \frac{g T}{2} \right) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $T = 0$ (момент броска) и $v_0 \sin(\alpha) - \frac{g T}{2} = 0$. Нас интересует второе решение, соответствующее окончанию полета.

$T = \frac{2 v_0 \sin(\alpha)}{g}$

Дальность полета $L$ — это горизонтальное расстояние, которое тело пролетело за время $T$.

$L = x(T) = v_0 \cos(\alpha) T$

Подставим выражение для времени полета $T$ в эту формулу:

$L = v_0 \cos(\alpha) \cdot \frac{2 v_0 \sin(\alpha)}{g} = \frac{v_0^2 \cdot 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)}{g}$

Используем тригонометрическую формулу двойного угла $2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)$:

$L(\alpha) = \frac{v_0^2}{g} \sin(2\alpha)$

Теперь необходимо найти, при каком значении угла $\alpha$ дальность полета $L(\alpha)$ будет максимальной. В этой формуле начальная скорость $v_0$ и ускорение свободного падения $g$ являются постоянными величинами. Следовательно, дальность полета зависит только от значения $\sin(2\alpha)$.

Функция синуса принимает максимальное значение, равное 1. Таким образом, $L$ будет максимальной ($L_{max}$), когда $\sin(2\alpha) = 1$.

Решим это уравнение относительно $\alpha$:

$\sin(2\alpha) = 1$

$2\alpha = 90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан), так как мы рассматриваем углы броска в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$.

$\alpha = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$

Таким образом, максимальная дальность полета достигается при угле броска $45^\circ$.

Ответ: Максимальная дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, достигается при угле $45^\circ$, так как при этом значении угла множитель $\sin(2\alpha)$ в формуле дальности полета $L = \frac{v_0^2}{g} \sin(2\alpha)$ достигает своего максимального значения, равного 1. Что и требовалось доказать.