Номер 27, страница 45 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Кинематика. Задачи для повторения - номер 27, страница 45.

Условие.

27. Две материальные точки одновременно начинают движение по окружности из одного положения в противоположных направлениях. Через какой минимальный промежуток времени от начала движения они встретятся, если период обращения одной точки 3 с, а другой точки 6 с?

Решение.

Дано:

Период обращения первой материальной точки, $T_1 = 3$ c

Период обращения второй материальной точки, $T_2 = 6$ c

Точки начинают движение одновременно из одного положения в противоположных направлениях.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Минимальный промежуток времени от начала движения, через который точки встретятся, $t$ - ?

Решение:

Для нахождения времени встречи двух точек, движущихся по окружности навстречу друг другу, можно использовать их угловые скорости. Угловая скорость $\omega$ связана с периодом обращения $T$ соотношением:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Найдем угловые скорости для каждой точки:

Угловая скорость первой точки: $\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1} = \frac{2\pi}{3}$ рад/с.

Угловая скорость второй точки: $\omega_2 = \frac{2\pi}{T_2} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ рад/с.

Поскольку точки движутся в противоположных направлениях, их относительная угловая скорость сближения $\omega_{отн}$ будет равна сумме их угловых скоростей:

$\omega_{отн} = \omega_1 + \omega_2 = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} = \pi$ рад/с.

Первая встреча произойдет, когда суммарный угол, на который они повернутся, составит полный оборот, то есть $2\pi$ радиан. Время $t$, необходимое для этого, можно найти из формулы:

$\phi_{общ} = \omega_{отн} \cdot t$

где $\phi_{общ} = 2\pi$.

$2\pi = \pi \cdot t$

Отсюда находим время $t$:

$t = \frac{2\pi}{\pi} = 2$ с.

Другой способ решения:

Можно рассуждать, какую часть окружности каждая точка проходит за единицу времени. Эта величина равна частоте обращения $f = 1/T$.

Частота первой точки: $f_1 = \frac{1}{T_1} = \frac{1}{3}$ об/с.

Частота второй точки: $f_2 = \frac{1}{T_2} = \frac{1}{6}$ об/с.

За время $t$ первая точка пройдет долю окружности, равную $f_1 t$, а вторая — $f_2 t$. Так как они движутся навстречу, они встретятся, когда сумма пройденных ими долей окружности будет равна 1 (одна полная окружность).

$f_1 t + f_2 t = 1$

$t(f_1 + f_2) = 1$

$t = \frac{1}{f_1 + f_2} = \frac{1}{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = \frac{1}{\frac{2}{6} + \frac{1}{6}} = \frac{1}{\frac{3}{6}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$ с.

Ответ: 2 с.