Номер 5, страница 46 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Динамика. Задачи для повторения - номер 5, страница 46.

Условие.

5. Под действием некоторой силы брусок, двигаясь из состояния покоя по гладкой горизонтальной поверхности, прошёл путь 40 см. Когда на этот брусок поставили дополнительный груз массой 200 г, то под действием той же силы за то же время брусок прошёл путь 20 см. Определите первоначальную массу бруска.

Решение.

Дано:

$s_1 = 40 \text{ см} = 0.4 \text{ м}$

$\Delta m = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$

$s_2 = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

$v_0 = 0 \text{ м/с}$ (состояние покоя)

Найти:

$m_1 - ?$

Решение:

Поскольку брусок движется из состояния покоя под действием постоянной силы по гладкой поверхности, его движение является равноускоренным. Путь, пройденный телом при равноускоренном движении без начальной скорости, вычисляется по формуле:

$s = \frac{at^2}{2}$

Согласно второму закону Ньютона, ускорение $a$ тела массой $m$ под действием силы $F$ равно:

$a = \frac{F}{m}$

Подставим выражение для ускорения в формулу пути:

$s = \frac{F t^2}{2m}$

Запишем это уравнение для двух случаев, описанных в задаче.

1. В первом случае движется только брусок, его масса $m_1$. За время $t$ он проходит путь $s_1$ под действием силы $F$.

$s_1 = \frac{F t^2}{2m_1}$

2. Во втором случае на брусок ставят дополнительный груз массой $\Delta m$. Общая масса системы становится $m_1 + \Delta m$. Под действием той же силы $F$ за то же время $t$ система проходит путь $s_2$.

$s_2 = \frac{F t^2}{2(m_1 + \Delta m)}$

Мы получили систему двух уравнений. Разделим первое уравнение на второе:

$\frac{s_1}{s_2} = \frac{\frac{F t^2}{2m_1}}{\frac{F t^2}{2(m_1 + \Delta m)}}$

Сократим одинаковые множители $F$, $t^2$ и $2$:

$\frac{s_1}{s_2} = \frac{\frac{1}{m_1}}{\frac{1}{m_1 + \Delta m}} = \frac{m_1 + \Delta m}{m_1}$

Теперь решим это уравнение относительно $m_1$:

$s_1 m_1 = s_2(m_1 + \Delta m)$

$s_1 m_1 = s_2 m_1 + s_2 \Delta m$

$s_1 m_1 - s_2 m_1 = s_2 \Delta m$

$m_1(s_1 - s_2) = s_2 \Delta m$

$m_1 = \frac{s_2 \Delta m}{s_1 - s_2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$m_1 = \frac{0.2 \text{ м} \cdot 0.2 \text{ кг}}{0.4 \text{ м} - 0.2 \text{ м}} = \frac{0.04 \text{ кг} \cdot \text{м}}{0.2 \text{ м}} = 0.2 \text{ кг}$

Переведем полученное значение в граммы: $0.2 \text{ кг} = 200 \text{ г}$.

Ответ: первоначальная масса бруска равна 200 г.