Номер 7, страница 46 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Динамика - номер 7, страница 46.

Условие.

7. Начальная скорость поезда перед торможением была равна $20 \text{ м/с}$. В вагоне этого поезда на столе находится книга. Каким должно быть минимальное время торможения поезда до полной остановки, чтобы книга не соскользнула со стола? Коэффициент трения между книгой и поверхностью стола считайте равным $0.2$.

Решение.

Дано:

Начальная скорость поезда, $v_0 = 20$ м/с

Конечная скорость поезда, $v = 0$ м/с

Коэффициент трения, $\mu = 0,2$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Найти:

Минимальное время торможения, $t_{min}$ - ?

Решение:

Чтобы книга не соскользнула со стола во время торможения поезда, она должна двигаться вместе с поездом, то есть иметь такое же ускорение $a$ (в данном случае — замедление). Единственная горизонтальная сила, действующая на книгу и способная сообщить ей это ускорение, — это сила трения покоя $F_{тр}$.

Согласно второму закону Ньютона, в проекции на горизонтальную ось, направленную по движению поезда:

$F_{тр} = ma$

где $m$ — масса книги, $a$ — ускорение поезда (и книги).

Книга останется на месте (не соскользнет), пока действующая на нее сила трения покоя не превысит своего максимального значения $F_{тр.max}$.

$F_{тр} \le F_{тр.max}$

Максимальная сила трения покоя вычисляется по формуле:

$F_{тр.max} = \mu N$

где $N$ — сила нормальной реакции опоры. Поскольку стол горизонтальный, сила нормальной реакции уравновешивает силу тяжести, действующую на книгу: $N = mg$.

Таким образом, $F_{тр.max} = \mu mg$.

Подставим это в условие отсутствия скольжения:

$ma \le \mu mg$

Сократив массу $m$, получим условие для максимального ускорения (замедления), при котором книга еще не скользит:

$a \le \mu g$

Следовательно, максимально допустимое ускорение $a_{max} = \mu g$.

Минимальное время торможения $t_{min}$ достигается при максимально возможном замедлении, то есть при $a = a_{max}$.

Воспользуемся формулой для скорости при равноускоренном движении:

$v = v_0 + at$

Поскольку поезд тормозит до полной остановки, его конечная скорость $v=0$, а ускорение направлено против начальной скорости, поэтому $a = -a_{max}$.

$0 = v_0 - a_{max} t_{min}$

Отсюда выразим минимальное время торможения:

$t_{min} = \frac{v_0}{a_{max}}$

Подставим выражение для $a_{max}$:

$t_{min} = \frac{v_0}{\mu g}$

Произведем вычисления:

$t_{min} = \frac{20 \text{ м/с}}{0,2 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{20 \text{ м/с}}{2 \text{ м/с}^2} = 10 \text{ с}$

Ответ: минимальное время торможения поезда до полной остановки, чтобы книга не соскользнула со стола, составляет 10 с.