Номер 14, страница 47 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Динамика. Задачи для повторения - номер 14, страница 47.

Условие.

14. На подставке лежит тело массой $300 \text{ г}$, соединённое с потолком пружиной с жёсткостью $6 \text{ мН/м}$. В начальный момент пружина не деформирована. Подставку начинают опускать вертикально с ускорением $2 \text{ м/с}^2$. Через какое время тело оторвётся от подставки?

Решение.

Дано:

Масса тела, $m = 300 \text{ г} = 0.3 \text{ кг}$
Жёсткость пружины, $k = 6 \text{ мН/м} = 6 \cdot 10^{-3} \text{ Н/м}$
Ускорение подставки, $a = 2 \text{ м/с²}$
Начальная скорость, $v_0 = 0 \text{ м/с}$
Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ м/с²}$

Найти:

Время, через которое тело оторвётся от подставки, $t$.

Решение:

Пока тело лежит на подставке, оно движется вместе с ней вниз с ускорением $a$. На тело действуют три силы: сила тяжести $F_g = mg$ (вниз), сила упругости пружины $F_{упр} = kx$ (вверх), где $x$ – удлинение пружины, и сила нормальной реакции опоры $N$ (вверх).

Запишем второй закон Ньютона для тела в проекции на вертикальную ось, направленную вниз: $mg - F_{упр} - N = ma$ $mg - kx - N = ma$

Отрыв тела от подставки произойдёт в тот момент, когда сила нормальной реакции опоры обратится в ноль, то есть $N = 0$. Условие отрыва: $mg - kx_{отр} = ma$ где $x_{отр}$ – удлинение пружины в момент отрыва.

Из этого уравнения найдём удлинение пружины, необходимое для отрыва тела: $kx_{отр} = mg - ma$ $x_{отр} = \frac{m(g-a)}{k}$

Поскольку в начальный момент пружина не деформирована, а подставка движется из состояния покоя равноускоренно, то удлинение пружины $x$ в момент времени $t$ равно пути, пройденному подставкой: $x = \frac{at^2}{2}$

В момент отрыва $x = x_{отр}$, поэтому мы можем приравнять два полученных выражения для $x$: $\frac{at^2}{2} = \frac{m(g-a)}{k}$

Теперь выразим из этого уравнения искомое время $t$: $t^2 = \frac{2m(g-a)}{ak}$ $t = \sqrt{\frac{2m(g-a)}{ak}}$

Подставим числовые значения из условия задачи: $t = \sqrt{\frac{2 \cdot 0.3 \cdot (10 - 2)}{2 \cdot 6 \cdot 10^{-3}}} = \sqrt{\frac{0.6 \cdot 8}{12 \cdot 10^{-3}}} = \sqrt{\frac{4.8}{0.012}} = \sqrt{400} = 20 \text{ с}$

Ответ: тело оторвётся от подставки через 20 с.