Номер 19, страница 47 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Динамика - номер 19, страница 47.

Условие.

19. Определите коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью, если тело, запущенное снизу вверх со скоростью 7 м/с, до полной остановки прошло 2 м. Угол наклона плоскости к горизонту составляет $45^{\circ}$.

Решение.

Дано:

Начальная скорость тела, $v_0 = 7$ м/с

Конечная скорость тела, $v = 0$ м/с

Пройденный путь, $s = 2$ м

Угол наклона плоскости, $\alpha = 45^\circ$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с$^2$

Найти:

Коэффициент трения, $\mu$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии с учетом работы сил трения. Изменение полной механической энергии тела равно работе непотенциальных сил (в данном случае — силы трения).

$ \Delta E = A_{тр} $

Изменение полной механической энергии равно разности конечной и начальной энергий:

$ \Delta E = E_{конеч} - E_{нач} = (E_{к\ конеч} + E_{п\ конеч}) - (E_{к\ нач} + E_{п\ нач}) $

В начальный момент времени (у основания наклонной плоскости) тело обладает только кинетической энергией. Примем начальную потенциальную энергию равной нулю.

$ E_{к\ нач} = \frac{mv_0^2}{2} $

$ E_{п\ нач} = 0 $

В конечный момент времени (в точке полной остановки) кинетическая энергия тела равна нулю, а потенциальная энергия максимальна.

$ E_{к\ конеч} = 0 $

$ E_{п\ конеч} = mgh $

Высоту подъема $h$ можно выразить через пройденный путь $s$ и угол наклона $\alpha$:

$ h = s \cdot \sin\alpha $

Работа силы трения $A_{тр}$ отрицательна, так как сила трения направлена против движения:

$ A_{тр} = -F_{тр} \cdot s $

Сила трения скольжения $F_{тр}$ равна произведению коэффициента трения $\mu$ на силу нормальной реакции $N$:

$ F_{тр} = \mu N $

На наклонной плоскости сила нормальной реакции $N$ уравновешивает составляющую силы тяжести, перпендикулярную плоскости:

$ N = mg \cos\alpha $

Следовательно, работа силы трения:

$ A_{тр} = -\mu mg s \cos\alpha $

Подставим все выражения в исходное уравнение закона сохранения энергии:

$ (0 + mgs \sin\alpha) - (\frac{mv_0^2}{2} + 0) = -\mu mg s \cos\alpha $

Упростим, разделив обе части уравнения на массу $m$:

$ gs \sin\alpha - \frac{v_0^2}{2} = -\mu gs \cos\alpha $

Выразим из этого уравнения искомый коэффициент трения $\mu$:

$ \mu gs \cos\alpha = \frac{v_0^2}{2} - gs \sin\alpha $

$ \mu = \frac{\frac{v_0^2}{2} - gs \sin\alpha}{gs \cos\alpha} = \frac{v_0^2}{2gs \cos\alpha} - \frac{gs \sin\alpha}{gs \cos\alpha} = \frac{v_0^2}{2gs \cos\alpha} - \tan\alpha $

Подставим числовые значения:

$ \mu = \frac{7^2}{2 \cdot 9.8 \cdot 2 \cdot \cos(45^\circ)} - \tan(45^\circ) $

Так как $ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 $ и $ \tan(45^\circ) = 1 $, получаем:

$ \mu = \frac{49}{39.2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} - 1 = \frac{49}{19.6\sqrt{2}} - 1 \approx \frac{49}{19.6 \cdot 1.414} - 1 \approx \frac{49}{27.714} - 1 \approx 1.768 - 1 = 0.768 $

Округлим результат до сотых.

Ответ: коэффициент трения $\mu \approx 0.77$.