Номер 24, страница 48 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Динамика. Задачи для повторения - номер 24, страница 48.

Условие.

24. Автомобиль массой $1 \text{ т}$ поднимается по шоссе с углом наклона $30^\circ$ под действием силы тяги $7 \text{ кН}$. Коэффициент трения между автомобилем и шоссе равен $0,1$. Чему равно ускорение автомобиля?

Решение.

Дано

Масса автомобиля: $m = 1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$

Угол наклона шоссе: $\alpha = 30^\circ$

Сила тяги: $F_{тяги} = 7 \text{ кН} = 7000 \text{ Н}$

Коэффициент трения: $\mu = 0.1$

Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Ускорение автомобиля: $a$

Решение

На автомобиль, движущийся вверх по наклонной плоскости, действуют четыре силы: сила тяги $F_{тяги}$, направленная вверх вдоль наклонной плоскости; сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз; сила нормальной реакции опоры $N$, направленная перпендикулярно наклонной плоскости; и сила трения скольжения $F_{тр}$, направленная вниз вдоль наклонной плоскости, против движения.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

$m\vec{a} = \vec{F}_{тяги} + m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр}$

Выберем систему координат, в которой ось $Ox$ направлена вдоль наклонной плоскости вверх, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей. Спроецируем уравнение на эти оси:

Проекция на ось $Ox$:

$ma = F_{тяги} - F_{тр} - mg \sin(\alpha)$

Проекция на ось $Oy$:

$0 = N - mg \cos(\alpha)$

Из уравнения для оси $Oy$ выразим силу нормальной реакции опоры:

$N = mg \cos(\alpha)$

Сила трения скольжения связана с силой нормальной реакции опоры через коэффициент трения:

$F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos(\alpha)$

Подставим выражение для силы трения в уравнение для оси $Ox$:

$ma = F_{тяги} - \mu mg \cos(\alpha) - mg \sin(\alpha)$

Отсюда выразим ускорение $a$:

$a = \frac{F_{тяги} - \mu mg \cos(\alpha) - mg \sin(\alpha)}{m}$

$a = \frac{F_{тяги}}{m} - g(\mu \cos(\alpha) + \sin(\alpha))$

Подставим числовые значения в формулу. Значения тригонометрических функций для угла $30^\circ$ равны: $\sin(30^\circ) = 0.5$, $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$.

$a = \frac{7000 \text{ Н}}{1000 \text{ кг}} - 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (0.1 \cdot \cos(30^\circ) + \sin(30^\circ))$

$a \approx 7 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} - 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (0.1 \cdot 0.866 + 0.5)$

$a \approx 7 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} - 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (0.0866 + 0.5)$

$a \approx 7 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} - 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0.5866$

$a \approx 7 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} - 5.75 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

$a \approx 1.25 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Ответ: $a \approx 1.25 \text{ м/с}^2$.