Номер 31, страница 48 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Динамика - номер 31, страница 48.

Условие.

31. Два тела, лежащие вплотную друг к другу на наклонной плоскости, движутся вниз с некоторым ускорением. Массы тел одинаковы, коэффициент трения первого тела о поверхность наклонной плоскости $\mu_1$, коэффициент трения второго тела — $\mu_2$ $(\mu_1 > \mu_2)$, угол наклона плоскости $\alpha$. Определите ускорение движения тел.

Решение.

Дано:

Масса первого тела: $m_1 = m$
Масса второго тела: $m_2 = m$
Коэффициент трения первого тела: $\mu_1$
Коэффициент трения второго тела: $\mu_2$
Условие: $\mu_1 > \mu_2$
Угол наклона плоскости: $\alpha$

Найти:

Ускорение тел: $a$

Решение:

Поскольку тела движутся вместе как единое целое с одним и тем же ускорением, их можно рассматривать как единую систему. Общая масса системы $M = m_1 + m_2 = m + m = 2m$.

Направим ось $Ox$ вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $Oy$ перпендикулярно ей. Запишем второй закон Ньютона для всей системы в проекции на ось $Ox$.

Суммарная сила, действующая на систему вдоль оси $Ox$, складывается из проекции силы тяжести и суммарной силы трения:

$Ma = F_{g_x} - F_{fr, total}$

Проекция силы тяжести на ось $Ox$ равна:

$F_{g_x} = Mg\sin\alpha = 2mg\sin\alpha$

Суммарная сила трения равна сумме сил трения, действующих на каждое тело:

$F_{fr, total} = F_{fr1} + F_{fr2}$

Для нахождения сил трения сначала определим силы нормальной реакции. Из условия равновесия сил вдоль оси $Oy$ для каждого тела:

$N_1 = m_1 g \cos\alpha = mg\cos\alpha$

$N_2 = m_2 g \cos\alpha = mg\cos\alpha$

Тогда силы трения скольжения равны:

$F_{fr1} = \mu_1 N_1 = \mu_1 mg\cos\alpha$

$F_{fr2} = \mu_2 N_2 = \mu_2 mg\cos\alpha$

Суммарная сила трения:

$F_{fr, total} = \mu_1 mg\cos\alpha + \mu_2 mg\cos\alpha = (\mu_1 + \mu_2)mg\cos\alpha$

Теперь подставим все найденные выражения в уравнение второго закона Ньютона:

$2ma = 2mg\sin\alpha - (\mu_1 + \mu_2)mg\cos\alpha$

Сократим обе части уравнения на $2m$:

$a = g\sin\alpha - \frac{(\mu_1 + \mu_2)g\cos\alpha}{2}$

Вынесем $g$ за скобки для получения окончательного ответа:

$a = g(\sin\alpha - \frac{\mu_1 + \mu_2}{2}\cos\alpha)$

Движение тел как единого целого возможно, так как тело с меньшим коэффициентом трения ($\mu_2$), стремящееся двигаться быстрее, будет подталкивать тело с большим коэффициентом трения ($\mu_1$), если оно расположено выше по склону.

Ответ:

Ускорение движения тел определяется формулой $a = g(\sin\alpha - \frac{\mu_1 + \mu_2}{2}\cos\alpha)$.