Номер 7, страница 49 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Законы сохранения в механике - номер 7, страница 49.

Условие.

7. Стоящий на льду человек массой 60 кг ловит мяч массой 0,5 кг, летящий горизонтально со скоростью 20 м/с. Коэффициент трения между человеком и льдом равен 0,05. Определите перемещение человека с мячом.

Решение.

Дано:

Масса человека $m_1 = 60$ кг

Масса мяча $m_2 = 0.5$ кг

Скорость мяча $v_2 = 20$ м/с

Коэффициент трения $\mu = 0.05$

Начальная скорость человека $v_1 = 0$ м/с

Примем ускорение свободного падения $g = 10 \text{ м/с}^2$.

Найти:

Перемещение человека с мячом $S$ - ?

Решение:

Решение задачи можно разделить на два этапа: неупругое столкновение (человек ловит мяч) и последующее равнозамедленное движение системы «человек-мяч» до полной остановки.

1. Закон сохранения импульса.

Рассмотрим систему «человек-мяч». В момент столкновения, которое происходит за очень малый промежуток времени, действием внешних горизонтальных сил (силой трения) можно пренебречь. Следовательно, для системы выполняется закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось.

Импульс системы до взаимодействия: $p_{до} = m_1 v_1 + m_2 v_2$.

Импульс системы после взаимодействия, когда человек и мяч движутся вместе со скоростью $u$: $p_{после} = (m_1 + m_2) u$.

По закону сохранения импульса $p_{до} = p_{после}$:

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) u$

Так как человек изначально покоился ($v_1 = 0$), уравнение принимает вид:

$m_2 v_2 = (m_1 + m_2) u$

Отсюда выразим скорость системы «человек-мяч» сразу после взаимодействия:

$u = \frac{m_2 v_2}{m_1 + m_2}$

2. Движение до остановки.

После столкновения система «человек-мяч» начинает движение с начальной скоростью $u$ и замедляется под действием силы трения скольжения $F_{тр}$.

Согласно второму закону Ньютона, $F_{равн} = ma$. Равнодействующая сила в горизонтальном направлении равна силе трения, направленной против движения: $F_{равн} = -F_{тр}$.

Сила трения скольжения определяется как $F_{тр} = \mu N$, где $N$ – сила нормальной реакции опоры. На горизонтальной поверхности льда сила реакции опоры уравновешивает силу тяжести системы: $N = (m_1 + m_2)g$.

Таким образом, $F_{тр} = \mu (m_1 + m_2)g$.

Подставим это в уравнение второго закона Ньютона:

$(m_1 + m_2) a = -\mu (m_1 + m_2) g$

Сократив массу, найдем ускорение системы:

$a = -\mu g$

Для нахождения перемещения $S$ воспользуемся формулой кинематики для равноускоренного движения, не содержащей время:

$S = \frac{v_{кон}^2 - u^2}{2a}$

Конечная скорость системы равна нулю ($v_{кон} = 0$), так как человек с мячом останавливается.

$S = \frac{0^2 - u^2}{2(-\mu g)} = \frac{-u^2}{-2\mu g} = \frac{u^2}{2\mu g}$

Теперь подставим в эту формулу выражение для скорости $u$, найденное на первом этапе:

$S = \frac{1}{2\mu g} \left( \frac{m_2 v_2}{m_1 + m_2} \right)^2$

3. Вычисления.

Подставим числовые значения в итоговую формулу:

$S = \frac{1}{2 \cdot 0.05 \cdot 10 \text{ м/с}^2} \left( \frac{0.5 \text{ кг} \cdot 20 \text{ м/с}}{60 \text{ кг} + 0.5 \text{ кг}} \right)^2 = \frac{1}{1} \left( \frac{10}{60.5} \right)^2 = \left( \frac{100}{605} \right)^2 = \left( \frac{20}{121} \right)^2 \text{ м}$

$S = \frac{400}{14641} \text{ м} \approx 0.0273 \text{ м}$

Ответ: перемещение человека с мячом составит приблизительно $0.0273$ м (или $2.73$ см).