Номер 14, страница 50 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Законы сохранения в механике - номер 14, страница 50.

Условие.

14. От груза массой 1,1 кг, висевшего на пружине жёсткостью 100 Н/м, отрывается кусок массой 100 г. Определите максимальную скорость оставшейся на пружине части груза.

Решение.

Дано:

Начальная масса груза $M = 1,1$ кг

Жёсткость пружины $k = 100$ Н/м

Масса оторвавшегося куска $\Delta m = 100$ г

$M = 1,1$ кг
$k = 100$ Н/м
$\Delta m = 100 \text{ г} = 0,1 \text{ кг}$

Найти:

Максимальную скорость оставшейся части груза $v_{max}$

Решение:

1. Изначально груз массой $M$ висит на пружине в состоянии равновесия. Сила упругости пружины $F_{упр1}$ уравновешивает силу тяжести $F_{т1}$. Растяжение пружины в этом положении равно $x_1$.

$F_{упр1} = F_{т1}$

$k x_1 = M g$

Отсюда находим начальное растяжение пружины (примем $g = 10$ м/с²):

$x_1 = \frac{M g}{k} = \frac{1,1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{100 \text{ Н/м}} = 0,11 \text{ м}$

2. После отрыва куска масса оставшейся части груза становится $m$:

$m = M - \Delta m = 1,1 \text{ кг} - 0,1 \text{ кг} = 1,0 \text{ кг}$

3. Новое положение равновесия для груза массой $m$ будет соответствовать растяжению $x_2$, при котором сила упругости $F_{упр2}$ уравновешивает новую силу тяжести $F_{т2}$:

$k x_2 = m g$

$x_2 = \frac{m g}{k} = \frac{1,0 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{100 \text{ Н/м}} = 0,1 \text{ м}$

4. В момент отрыва куска оставшийся груз массой $m$ находится на расстоянии $x_1$ от точки подвеса и имеет нулевую скорость. Это положение не является новым положением равновесия ($x_2$), поэтому груз начнёт совершать гармонические колебания вокруг нового положения равновесия $x_2$.

Так как движение начинается из состояния покоя, то начальное положение $x_1$ является точкой максимального отклонения от нового положения равновесия. Следовательно, амплитуда колебаний $A$ равна:

$A = x_1 - x_2 = 0,11 \text{ м} - 0,1 \text{ м} = 0,01 \text{ м}$

5. Максимальная скорость $v_{max}$ при гармонических колебаниях достигается в момент прохождения положения равновесия. Её можно найти из закона сохранения энергии. Полная энергия колебаний системы равна максимальной кинетической энергии, которая, в свою очередь, равна максимальной потенциальной энергии:

$E = \frac{m v_{max}^2}{2} = \frac{k A^2}{2}$

Из этого равенства выражаем максимальную скорость:

$m v_{max}^2 = k A^2$

$v_{max} = A \sqrt{\frac{k}{m}}$

6. Подставляем числовые значения:

$v_{max} = 0,01 \text{ м} \cdot \sqrt{\frac{100 \text{ Н/м}}{1,0 \text{ кг}}} = 0,01 \cdot \sqrt{100} = 0,01 \cdot 10 = 0,1 \text{ м/с}$

Ответ: максимальная скорость оставшейся на пружине части груза равна $0,1$ м/с.