Номер 2, страница 51 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Статика. Гидростатика. Задачи для повторения - номер 2, страница 51.

Условие.

2. Через ручей переброшена доска массой 40 кг и длиной 5 м. На доске стоит человек массой 60 кг на расстоянии 1 м от берега. Определите силу реакции опор.

Решение.

Дано:

Масса доски, $m_д = 40$ кг

Длина доски, $L = 5$ м

Масса человека, $m_ч = 60$ кг

Расстояние от человека до берега, $d = 1$ м

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Силы реакции опор $N_1$ и $N_2$.

Решение:

Доска, переброшенная через ручей, опирается на два берега. Эти берега являются опорами. Обозначим силу реакции опоры, у которой стоит человек, как $N_1$, а силу реакции второй опоры — как $N_2$.

Система "доска + человек" находится в равновесии. Это означает, что выполняются два условия равновесия:

1. Сумма всех сил, действующих на систему, равна нулю.

2. Сумма моментов всех сил относительно любой точки равна нулю.

На доску действуют следующие силы:

• Сила тяжести доски $P_д = m_д g$, приложенная в центре доски (на расстоянии $L/2$ от опоры), так как доска однородная.
• Сила тяжести человека $P_ч = m_ч g$, приложенная на расстоянии $d$ от первой опоры.
• Силы реакции опор $N_1$ и $N_2$, направленные вертикально вверх.

Запишем первое условие равновесия (равенство сил). Проецируем все силы на вертикальную ось OY, направленную вверх:

$N_1 + N_2 - P_д - P_ч = 0$

$N_1 + N_2 = P_д + P_ч = m_д g + m_ч g = (m_д + m_ч)g$

Подставим числовые значения:

$N_1 + N_2 = (40 \text{ кг} + 60 \text{ кг}) \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 100 \cdot 10 = 1000$ Н.

Теперь запишем второе условие равновесия (равенство моментов). Выберем точку вращения (ось) в месте расположения первой опоры (у которой стоит человек). Момент силы реакции $N_1$ относительно этой точки равен нулю.

Моменты сил тяжести $P_д$ и $P_ч$ вращают доску по часовой стрелке (примем это направление за отрицательное), а момент силы реакции $N_2$ — против часовой стрелки (положительное направление).

Сумма моментов сил: $\sum M = 0$

$M(N_2) - M(P_ч) - M(P_д) = 0$

$N_2 \cdot L - P_ч \cdot d - P_д \cdot \frac{L}{2} = 0$

Выразим $N_2$:

$N_2 \cdot L = m_ч g d + m_д g \frac{L}{2}$

$N_2 = \frac{g(m_ч d + m_д \frac{L}{2})}{L}$

Подставим числовые значения для нахождения $N_2$:

$N_2 = \frac{10 \text{ м/с}^2 \cdot (60 \text{ кг} \cdot 1 \text{ м} + 40 \text{ кг} \cdot \frac{5 \text{ м}}{2})}{5 \text{ м}} = \frac{10 \cdot (60 + 40 \cdot 2.5)}{5} = \frac{10 \cdot (60 + 100)}{5} = \frac{10 \cdot 160}{5} = \frac{1600}{5} = 320$ Н.

Теперь найдем $N_1$ из уравнения равенства сил:

$N_1 = 1000 \text{ Н} - N_2 = 1000 \text{ Н} - 320 \text{ Н} = 680$ Н.

Таким образом, сила реакции опоры, ближайшей к человеку, составляет 680 Н, а сила реакции дальней опоры — 320 Н.

Ответ: Сила реакции опоры, у которой стоит человек, равна 680 Н; сила реакции второй опоры равна 320 Н.