Номер 5, страница 51 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Статика. Гидростатика. Задачи для повторения - номер 5, страница 51.

Условие.

5. Вплотную к ступеньке высотой $h$ располагается колесо радиусом $R$ ($R \gg h$). Определите минимальную горизонтальную силу, вектор которой проходит через ось колеса, необходимую для подъёма колеса на ступеньку. Масса колеса $m$.

Решение.

Дано:

Высота ступеньки: $h$
Радиус колеса: $R$ (причем $R > h$)
Масса колеса: $m$
Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Минимальную горизонтальную силу $F_{min}$.

Решение:

Для того чтобы колесо начало подниматься на ступеньку, оно должно начать вращаться вокруг точки опоры, которой является край ступеньки. Обозначим эту точку как $A$. Минимальная сила $F_{min}$ соответствует моменту, когда колесо находится в состоянии равновесия на грани отрыва от горизонтальной поверхности и начала подъема. В этот критический момент сумма моментов сил относительно точки $A$ равна нулю.

Рассмотрим силы, действующие на колесо, и создаваемые ими моменты. Вращающий момент создает приложенная горизонтальная сила $F$. Препятствующий вращению момент создает сила тяжести $mg$. Сила реакции опоры со стороны края ступеньки приложена к самой точке вращения $A$, поэтому ее момент равен нулю. Сила реакции со стороны горизонтальной поверхности в момент отрыва от нее становится равной нулю и тоже не создает момента.

Таким образом, условие равновесия моментов для сил $F$ и $mg$ относительно точки $A$ выглядит так:
$M_F = M_{mg}$
где $M_F$ — момент силы $F$, а $M_{mg}$ — момент силы тяжести $mg$.

Момент силы определяется как произведение модуля силы на ее плечо, то есть на кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы ($M = F \cdot l$). Найдем плечи для наших сил.

Пусть $O$ — центр колеса. Плечо силы $F$ ($l_F$) — это перпендикулярное расстояние от точки $A$ до горизонтальной линии действия силы $F$. Это расстояние равно разности радиуса колеса и высоты ступеньки:
$l_F = R - h$

Плечо силы тяжести $mg$ ($l_{mg}$) — это перпендикулярное расстояние от точки $A$ до вертикальной линии действия силы $mg$. Это расстояние можно найти с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного центром колеса $O$, точкой опоры $A$ и проекцией точки $O$ на горизонталь, проходящую через $A$. Гипотенуза этого треугольника — радиус $R$ (отрезок $OA$), а один из катетов — это найденное нами плечо $l_F = R - h$. Второй катет и будет искомым плечом $l_{mg}$.
$l_{mg}^2 + (R - h)^2 = R^2$
$l_{mg}^2 = R^2 - (R - h)^2 = R^2 - (R^2 - 2Rh + h^2) = 2Rh - h^2$
$l_{mg} = \sqrt{2Rh - h^2}$

Теперь подставим выражения для плеч в уравнение моментов, чтобы найти минимальную силу $F_{min}$:
$F_{min} \cdot l_F = mg \cdot l_{mg}$
$F_{min} \cdot (R - h) = mg \cdot \sqrt{2Rh - h^2}$

Выразим $F_{min}$:
$F_{min} = \frac{mg \sqrt{2Rh - h^2}}{R - h}$

Данное выражение является точным решением задачи. Условие $R \gg h$ в задаче гарантирует, что подъем возможен и может быть использовано для получения приближенного ответа $F_{min} \approx mg\sqrt{2h/R}$, однако в общем случае следует использовать точную формулу.

Ответ: $F_{min} = mg \frac{\sqrt{2Rh - h^2}}{R - h}$