Номер 3, страница 51 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Статика. Гидростатика. Задачи для повторения - номер 3, страница 51.

Условие.

3. На горизонтальной поверхности стоит цилиндр, масса которого $m$, высота $H$ и диаметр $H/2$. Определите минимальное значение горизонтально направленной силы, приложенной к верхней грани цилиндра, при которой он опрокинется.

Решение.

Дано:

Масса цилиндра: $m$

Высота цилиндра: $H$

Диаметр цилиндра: $D = H/2$

Найти:

$F_{min}$ — минимальное значение горизонтально направленной силы, при которой цилиндр опрокинется.

Решение:

Опрокидывание цилиндра произойдет, когда момент силы, создаваемый приложенной силой $F$ относительно точки опоры (края основания), станет равен или превысит момент силы тяжести относительно той же точки. Минимальная сила $F_{min}$ соответствует моменту, когда цилиндр находится на грани опрокидывания, то есть когда опрокидывающий момент равен восстанавливающему моменту.

В момент начала опрокидывания цилиндр будет вращаться вокруг точки $O$, расположенной на краю его нижнего основания. Запишем уравнение моментов сил относительно этой точки.

1. Опрокидывающий момент создает приложенная горизонтальная сила $F$. Она приложена к верхней грани, то есть на высоте $H$ от основания. Плечо этой силы относительно точки $O$ равно $H$.

$M_{опрок} = F \cdot H$

2. Восстанавливающий момент создает сила тяжести $P = mg$. Сила тяжести приложена к центру масс цилиндра. Для однородного цилиндра центр масс находится на его оси симметрии на высоте $H/2$. Плечо силы тяжести равно горизонтальному расстоянию от оси цилиндра до точки опоры $O$, то есть радиусу основания $r$.

Радиус основания цилиндра равен половине его диаметра:

$r = \frac{D}{2} = \frac{H/2}{2} = \frac{H}{4}$

Тогда восстанавливающий момент силы тяжести равен:

$M_{восст} = mg \cdot r = mg \cdot \frac{H}{4}$

Условие равновесия на грани опрокидывания:

$M_{опрок} = M_{восст}$

Подставим выражения для моментов, используя $F_{min}$:

$F_{min} \cdot H = mg \cdot \frac{H}{4}$

Теперь выразим минимальную силу $F_{min}$:

$F_{min} = \frac{mg \cdot H}{4 \cdot H} = \frac{mg}{4}$

Это решение справедливо при условии, что цилиндр начнет опрокидываться раньше, чем скользить. Для этого сила $F_{min}$ должна быть меньше или равна максимальной силе трения покоя $F_{тр.max} = \mu N = \mu mg$, где $\mu$ — коэффициент трения. То есть должно выполняться условие $\frac{mg}{4} \leq \mu mg$, или $\mu \geq 1/4$. Поскольку в условии задачи нет информации о трении, предполагаем, что это условие выполнено.

Ответ: $F_{min} = \frac{mg}{4}$.