Номер 15, страница 50 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Законы сохранения в механике. Задачи для повторения - номер 15, страница 50.

Условие.

15. Шар движется со скоростью 3 м/с и сталкивается с таким же покоящимся шаром абсолютно упруго. После удара первый шар стал двигаться под углом $45^{\circ}$ к первоначальному направлению движения. Определите скорость второго шара после соударения.

Решение.

Дано:

Масса первого шара: $m_1 = m$

Масса второго шара: $m_2 = m$

Начальная скорость первого шара: $v_1 = 3 \text{ м/с}$

Начальная скорость второго шара: $v_2 = 0 \text{ м/с}$

Угол, под которым движется первый шар после удара: $\alpha = 45^\circ$

Столкновение абсолютно упругое.

(Все данные представлены в системе СИ)

Найти:

Скорость второго шара после соударения: $u_2$

Решение:

Для системы из двух шаров при абсолютно упругом столкновении выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

1. Закон сохранения импульса (ЗСИ) в векторной форме:

$m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = m_1\vec{u_1} + m_2\vec{u_2}$

Поскольку массы шаров одинаковы ($m_1=m_2=m$) и второй шар изначально покоился ($\vec{v_2} = 0$), уравнение упрощается:

$m\vec{v_1} = m\vec{u_1} + m\vec{u_2}$

Сократив массу $m$, получаем векторное соотношение для скоростей:

$\vec{v_1} = \vec{u_1} + \vec{u_2}$

Это уравнение показывает, что векторы скоростей $\vec{v_1}$, $\vec{u_1}$ и $\vec{u_2}$ образуют замкнутый треугольник.

2. Закон сохранения кинетической энергии (ЗСКЭ):

$\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{m_1u_1^2}{2} + \frac{m_2u_2^2}{2}$

Подставив $m_1=m_2=m$ и $v_2=0$, получим:

$\frac{mv_1^2}{2} = \frac{mu_1^2}{2} + \frac{mu_2^2}{2}$

Сократив $\frac{m}{2}$, получаем скалярное соотношение для модулей скоростей:

$v_1^2 = u_1^2 + u_2^2$

Данное равенство является математическим выражением теоремы Пифагора для треугольника, сторонами которого являются модули скоростей $v_1$, $u_1$ и $u_2$. Это означает, что треугольник, образованный векторами скоростей, является прямоугольным, где $v_1$ — гипотенуза, а $u_1$ и $u_2$ — катеты. Следовательно, векторы скоростей шаров после столкновения $\vec{u_1}$ и $\vec{u_2}$ взаимно перпендикулярны.

В этом прямоугольном треугольнике скоростей угол $\alpha$ является углом между гипотенузой $\vec{v_1}$ и катетом $\vec{u_1}$. Тогда модули скоростей (длины сторон) связаны следующими соотношениями:

$u_1 = v_1 \cos\alpha$

$u_2 = v_1 \sin\alpha$

Для нахождения скорости второго шара $u_2$ используем второе соотношение. Подставим известные значения:

$u_2 = 3 \cdot \sin(45^\circ)$

Зная, что $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$u_2 = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.12 \text{ м/с}$

Ответ:

Скорость второго шара после соударения составляет примерно $2.12 \text{ м/с}$.