Номер 9, страница 49 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Законы сохранения в механике - номер 9, страница 49.

Условие.

9. Какая доля кинетической энергии перейдёт в теплоту при столкновении двух одинаковых пластилиновых шаров, движущихся с одинаковой скоростью по взаимно перпендикулярным траекториям?

Решение.

Дано:

Масса первого шара: $m_1 = m$
Масса второго шара: $m_2 = m$
Скорость первого шара: $|\vec{v}_1| = v$
Скорость второго шара: $|\vec{v}_2| = v$
Угол между векторами скоростей: $\vec{v}_1 \perp \vec{v}_2$
Столкновение является абсолютно неупругим (пластилиновые шары слипаются).

Найти:

Долю начальной кинетической энергии, которая перейдёт в теплоту: $\eta = \frac{Q}{E_{k0}}$

Решение:

Столкновение двух пластилиновых шаров является абсолютно неупругим, так как после столкновения они слипаются и движутся как единое целое. В результате такого столкновения часть кинетической энергии системы переходит во внутреннюю энергию (теплоту), в то время как суммарный импульс системы сохраняется.

1. Определим суммарную кинетическую энергию шаров до столкновения ($E_{k0}$).
Кинетическая энергия каждого шара равна $\frac{mv^2}{2}$. Поскольку шаров два, их общая начальная кинетическая энергия будет суммой их энергий:$E_{k0} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m v^2}{2} + \frac{m v^2}{2} = m v^2$.

2. Применим закон сохранения импульса для нахождения скорости шаров после столкновения.
Импульс системы до столкновения равен векторной сумме импульсов каждого шара: $\vec{p}_0 = m\vec{v}_1 + m\vec{v}_2$.
После столкновения шары образуют единое тело массой $M = m_1 + m_2 = 2m$, которое движется со скоростью $\vec{V}$. Импульс системы после столкновения: $\vec{p} = M\vec{V} = 2m\vec{V}$.
Согласно закону сохранения импульса, $\vec{p}_0 = \vec{p}$:$m\vec{v}_1 + m\vec{v}_2 = 2m\vec{V}$.
Отсюда можем выразить вектор скорости после столкновения:$\vec{V} = \frac{\vec{v}_1 + \vec{v}_2}{2}$.

3. Найдем модуль скорости $V$ после столкновения.
Так как векторы скоростей $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ взаимно перпендикулярны, модуль их суммы $|\vec{v}_1 + \vec{v}_2|$ можно найти по теореме Пифагора:$|\vec{v}_1 + \vec{v}_2| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2} = \sqrt{v^2 + v^2} = \sqrt{2v^2} = v\sqrt{2}$.
Теперь найдем модуль скорости $V = |\vec{V}|$:$V = \frac{|\vec{v}_1 + \vec{v}_2|}{2} = \frac{v\sqrt{2}}{2}$.

4. Вычислим кинетическую энергию системы после столкновения ($E_k$).
$E_k = \frac{M V^2}{2} = \frac{(2m) \left(\frac{v\sqrt{2}}{2}\right)^2}{2} = \frac{2m \cdot \frac{2v^2}{4}}{2} = \frac{2m \cdot \frac{v^2}{2}}{2} = \frac{m v^2}{2}$.

5. Количество теплоты ($Q$), выделившееся при столкновении, равно потере кинетической энергии системы:$Q = E_{k0} - E_k = m v^2 - \frac{m v^2}{2} = \frac{m v^2}{2}$.

6. Наконец, найдем искомую долю кинетической энергии, которая перешла в теплоту. Это отношение выделившейся теплоты $Q$ к начальной кинетической энергии $E_{k0}$:$\eta = \frac{Q}{E_{k0}} = \frac{\frac{m v^2}{2}}{m v^2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: В теплоту перейдёт $1/2$ (или 50%) начальной кинетической энергии.