Номер 5, страница 49 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Законы сохранения в механике - номер 5, страница 49.

Условие.

5. Струя воды сечением $0,5 \text{ см}^2$ ударяет перпендикулярно вертикальной стене и равномерно растекается. Скорость истечения воды $20 \text{ м/с}$. Определите давление и силу давления на стену.

Решение.

Дано:

Площадь сечения струи, $S = 0,5 \text{ см}^2$
Скорость истечения воды, $v = 20 \text{ м/с}$
Плотность воды (стандартное значение), $\rho = 1000 \text{ кг/м}^3$

Переведем площадь сечения в систему СИ:
$S = 0,5 \text{ см}^2 = 0,5 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 0,5 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 5 \cdot 10^{-5} \text{ м}^2$

Найти:

Силу давления на стену, $F - ?$
Давление на стену, $P - ?$

Решение:

Сила давления, которую струя воды оказывает на стену, определяется вторым законом Ньютона в импульсной форме. Сила равна скорости изменения импульса воды.

$F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$

За малый промежуток времени $\Delta t$ до стены долетает и ударяется о нее масса воды $\Delta m$. Эта масса находится в объеме $\Delta V$, который можно представить как цилиндр с площадью основания $S$ и высотой $l = v \Delta t$.

$\Delta V = S \cdot l = S \cdot v \cdot \Delta t$

Масса воды, соответственно, равна:

$\Delta m = \rho \cdot \Delta V = \rho S v \Delta t$

До удара о стену эта масса воды имела импульс $p_1$, направленный перпендикулярно стене:

$p_1 = \Delta m \cdot v = (\rho S v \Delta t) \cdot v = \rho S v^2 \Delta t$

В условии сказано, что вода равномерно растекается по стене. Это означает, что после удара составляющая скорости, перпендикулярная стене, становится равной нулю. Следовательно, конечный импульс в этом направлении также равен нулю:

$p_2 = 0$

Изменение импульса воды за время $\Delta t$ равно:

$\Delta p = p_2 - p_1 = 0 - \rho S v^2 \Delta t = - \rho S v^2 \Delta t$

Согласно второму закону Ньютона, сила, с которой стена действует на воду, равна:

$F_{стены} = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{- \rho S v^2 \Delta t}{\Delta t} = - \rho S v^2$

Знак "минус" показывает, что сила со стороны стены направлена в сторону, противоположную начальному движению воды. По третьему закону Ньютона, сила $F$, с которой вода действует на стену, равна по модулю силе $F_{стены}$ и противоположна ей по направлению:

$F = -F_{стены} = \rho S v^2$

Подставим числовые значения для вычисления силы давления:

$F = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 5 \cdot 10^{-5} \text{ м}^2 \cdot (20 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2 = 1000 \cdot 5 \cdot 10^{-5} \cdot 400 = 20 \text{ Н}$

Давление $P$ определяется как сила $F$, приходящаяся на единицу площади $S$. В данном случае сила действует на площадь, равную площади поперечного сечения струи.

$P = \frac{F}{S}$

Вычислим давление:

$P = \frac{20 \text{ Н}}{5 \cdot 10^{-5} \text{ м}^2} = 4 \cdot 10^5 \text{ Па} = 400 \text{ кПа}$

Этот же результат можно получить, подставив выражение для силы в формулу давления:

$P = \frac{\rho S v^2}{S} = \rho v^2 = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot (20 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2 = 1000 \cdot 400 = 400000 \text{ Па} = 400 \text{ кПа}$

Ответ: сила давления на стену составляет $20 \text{ Н}$, а давление на стену равно $400 \text{ кПа}$.