Номер 4, страница 49 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Законы сохранения в механике - номер 4, страница 49.

Условие.

4. Снаряд массой 1 кг разорвался в верхней точке траектории на два осколка. Первый осколок имеет массу 200 г и сразу после взрыва движется со скоростью 200 м/с в направлении, перпендикулярном движению снаряда в момент разрыва. Определите скорость второго осколка, если начальная скорость снаряда 100 м/с.

Решение.

Дано:

Масса снаряда $M = 1$ кг

Масса первого осколка $m_1 = 200$ г

Скорость первого осколка $v_1 = 200$ м/с

Скорость снаряда в момент разрыва $v = 100$ м/с (в условии указана как "начальная скорость снаряда")

Направление скорости первого осколка перпендикулярно направлению скорости снаряда в момент разрыва.

Перевод в систему СИ:

$m_1 = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$

Найти:

Скорость второго осколка $v_2$.

Решение:

Поскольку разрыв снаряда происходит за очень короткий промежуток времени, а силы, вызывающие разрыв, являются внутренними для системы «снаряд», мы можем применить закон сохранения импульса. Влиянием внешней силы (силы тяжести) за время разрыва можно пренебречь. Согласно этому закону, суммарный импульс осколков сразу после взрыва равен импульсу снаряда непосредственно перед взрывом.

Запишем закон сохранения импульса в векторной форме:

$M\vec{v} = m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2}$

где $M$ — масса снаряда, $\vec{v}$ — его скорость перед разрывом, $m_1$ и $m_2$ — массы осколков, а $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ — их скорости после разрыва.

Сначала найдем массу второго осколка из закона сохранения массы:

$m_2 = M - m_1 = 1 \text{ кг} - 0.2 \text{ кг} = 0.8 \text{ кг}$

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Направим ось $OX$ по направлению движения снаряда в момент разрыва (в верхней точке траектории скорость направлена горизонтально). Ось $OY$ направим перпендикулярно оси $OX$ (вертикально), по направлению движения первого осколка, как указано в условии.

В этой системе координат векторы скоростей перед и после взрыва имеют следующие компоненты:

Скорость снаряда до разрыва: $\vec{v} = (v, 0)$, где $v = 100$ м/с.

Скорость первого осколка: $\vec{v_1} = (0, v_1)$, где $v_1 = 200$ м/с.

Скорость второго осколка: $\vec{v_2} = (v_{2x}, v_{2y})$.

Теперь запишем закон сохранения импульса в проекциях на оси координат.

Проекция на ось $OX$:

$Mv = m_1 \cdot 0 + m_2 v_{2x}$

$Mv = m_2 v_{2x}$

Отсюда найдем горизонтальную составляющую скорости второго осколка:

$v_{2x} = \frac{Mv}{m_2} = \frac{1 \text{ кг} \cdot 100 \text{ м/с}}{0.8 \text{ кг}} = 125 \text{ м/с}$

Проекция на ось $OY$:

$M \cdot 0 = m_1 v_1 + m_2 v_{2y}$

$0 = m_1 v_1 + m_2 v_{2y}$

Отсюда найдем вертикальную составляющую скорости второго осколка:

$v_{2y} = -\frac{m_1 v_1}{m_2} = -\frac{0.2 \text{ кг} \cdot 200 \text{ м/с}}{0.8 \text{ кг}} = -\frac{40}{0.8} \text{ м/с} = -50 \text{ м/с}$

Знак «минус» означает, что вертикальная составляющая скорости второго осколка направлена в сторону, противоположную скорости первого осколка.

Полная скорость второго осколка $v_2$ (модуль вектора скорости $\vec{v_2}$) находится по теореме Пифагора:

$v_2 = \sqrt{v_{2x}^2 + v_{2y}^2} = \sqrt{125^2 + (-50)^2} = \sqrt{15625 + 2500} = \sqrt{18125} \text{ м/с}$

Упростим полученное значение: $18125 = 625 \cdot 29$, поэтому $\sqrt{18125} = \sqrt{625 \cdot 29} = 25\sqrt{29}$.

Таким образом, точное значение скорости $v_2 = 25\sqrt{29}$ м/с. Вычислим приближенное значение:

$v_2 \approx 25 \cdot 5.385 \approx 134.6 \text{ м/с}$

Ответ: скорость второго осколка равна $25\sqrt{29}$ м/с, что приблизительно составляет $134.6$ м/с.