Номер 28, страница 48 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Динамика. Задачи для повторения - номер 28, страница 48.

Условие.

28. Два тела массами $m_1 = 2 \text{ кг}$ и $m_2 = 1 \text{ кг}$ связаны невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через блок, укреплённый на краю стола. Коэффициент трения между первым телом и поверхностью 0,2. Определите силу натяжения нити и ускорение тел. В начальный момент второе тело свободно висит.

Решение.

Дано:

$m_1 = 2 \text{ кг}$
$m_2 = 1 \text{ кг}$
$\mu = 0.2$

Все данные представлены в системе СИ. Примем ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$.

Найти:

$a - ?$
$T - ?$

Решение:

Нарисуем схему сил, действующих на каждое тело, и применим второй закон Ньютона.

На первое тело (массой $m_1$), находящееся на горизонтальной поверхности стола, действуют:
- Сила тяжести $F_{g1} = m_1g$, направленная вертикально вниз.
- Сила нормальной реакции опоры $N$, направленная вертикально вверх.
- Сила натяжения нити $T$, направленная горизонтально в сторону блока.
- Сила трения скольжения $F_{тр}$, направленная горизонтально в сторону, противоположную движению.

На второе тело (массой $m_2$), которое висит, действуют:
- Сила тяжести $F_{g2} = m_2g$, направленная вертикально вниз.
- Сила натяжения нити $T$, направленная вертикально вверх.

Поскольку нить нерастяжима и невесома, а блок идеальный, ускорение обоих тел по модулю одинаково ($a$), и сила натяжения нити $T$ одна и та же для обоих тел.

Запишем уравнения второго закона Ньютона для каждого тела в проекциях на оси координат. Ось OX направим горизонтально по направлению движения тела $m_1$, а ось OY — вертикально вверх. Для тела $m_2$ направим ось координат вертикально вниз, по направлению его ускорения.

Для тела $m_1$:
В проекции на ось OY (вертикальную): $N - m_1g = 0$, откуда сила нормальной реакции $N = m_1g$.
Сила трения скольжения равна $F_{тр} = \mu N = \mu m_1g$.
В проекции на ось OX (горизонтальную): $T - F_{тр} = m_1a$.
Подставив выражение для силы трения, получаем:
$T - \mu m_1g = m_1a \quad (1)$

Для тела $m_2$:
В проекции на вертикальную ось:
$m_2g - T = m_2a \quad (2)$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, $a$ и $T$.

Определение ускорения тел

Для нахождения ускорения сложим уравнение (1) и уравнение (2):
$(T - \mu m_1g) + (m_2g - T) = m_1a + m_2a$
Сила натяжения $T$ сокращается:
$m_2g - \mu m_1g = (m_1 + m_2)a$
Выразим ускорение $a$:
$a = \frac{g(m_2 - \mu m_1)}{m_1 + m_2}$
Подставим числовые значения:
$a = \frac{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot (1 \text{ кг} - 0.2 \cdot 2 \text{ кг})}{2 \text{ кг} + 1 \text{ кг}} = \frac{9.8 \cdot (1 - 0.4)}{3} = \frac{9.8 \cdot 0.6}{3} = \frac{5.88}{3} = 1.96 \text{ м/с}^2$

Ответ: Ускорение тел равно $1.96 \text{ м/с}^2$.

Определение силы натяжения нити

Теперь, зная ускорение, можем найти силу натяжения нити $T$. Подставим значение $a$ в уравнение (2):
$T = m_2g - m_2a = m_2(g - a)$
Подставим числовые значения:
$T = 1 \text{ кг} \cdot (9.8 \text{ м/с}^2 - 1.96 \text{ м/с}^2) = 1 \cdot 7.84 = 7.84 \text{ Н}$
Для проверки можно подставить $a$ в уравнение (1):
$T = m_1a + \mu m_1g = 2 \text{ кг} \cdot 1.96 \text{ м/с}^2 + 0.2 \cdot 2 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 3.92 \text{ Н} + 3.92 \text{ Н} = 7.84 \text{ Н}$
Результаты совпадают, что подтверждает правильность расчетов.

Ответ: Сила натяжения нити равна $7.84 \text{ Н}$.