Номер 22, страница 47 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Динамика. Задачи для повторения - номер 22, страница 47.

Условие.

22. На наклонной плоскости находится брусок массой 500 г. Его удерживают в состоянии покоя нитью, направленной вдоль наклонной плоскости. Если тянуть груз с силой 4 H, то брусок будет равномерно подниматься. Если тянуть с силой 2 H, то брусок будет двигаться равномерно вниз. Определите коэффициент трения.

Решение.

Дано:

$m = 500 \text{ г} = 0.5 \text{ кг}$

$F_1 = 4 \text{ Н}$ (сила при движении вверх)

$F_2 = 2 \text{ Н}$ (сила при движении вниз)

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Найти:

$\mu$ - ?

Решение:

Пусть угол наклона плоскости к горизонту равен $\alpha$. Введем систему координат, где ось OX направлена вдоль наклонной плоскости вверх, а ось OY – перпендикулярно ей.

На брусок действуют следующие силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз; сила нормальной реакции опоры $N$, направленная перпендикулярно плоскости; внешняя сила $F$, приложенная вдоль плоскости; сила трения скольжения $F_{тр}$.

В обоих случаях движение равномерное, следовательно, ускорение $a=0$, и по второму закону Ньютона, сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю.

Запишем уравнения в проекциях на оси координат.

Проекция на ось OY одинакова для обоих случаев:

$N - mg \cos(\alpha) = 0$, откуда $N = mg \cos(\alpha)$.

Сила трения скольжения равна $F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos(\alpha)$.

1. Случай равномерного подъема бруска вверх.

Сила $F_1$ направлена вверх по склону. Брусок движется вверх, значит, сила трения $F_{тр}$ и проекция силы тяжести $mg \sin(\alpha)$ направлены вниз по склону. Уравнение в проекции на ось OX:

$F_1 - mg \sin(\alpha) - F_{тр} = 0$

Подставим известные значения и выражение для силы трения:

$4 - mg \sin(\alpha) - \mu mg \cos(\alpha) = 0$

$4 = mg \sin(\alpha) + \mu mg \cos(\alpha) \quad (1)$

2. Случай равномерного движения бруска вниз.

Сила $F_2$ по-прежнему направлена вверх по склону (нить тянет брусок). Брусок движется вниз, поэтому сила трения $F_{тр}$ направлена вверх. Проекция силы тяжести $mg \sin(\alpha)$ направлена вниз. Уравнение в проекции на ось OX:

$F_2 + F_{тр} - mg \sin(\alpha) = 0$

Подставим известные значения и выражение для силы трения:

$2 + \mu mg \cos(\alpha) - mg \sin(\alpha) = 0$

$mg \sin(\alpha) = 2 + \mu mg \cos(\alpha) \quad (2)$

Получили систему из двух уравнений (1) и (2). Подставим выражение для $mg \sin(\alpha)$ из уравнения (2) в уравнение (1):

$4 = (2 + \mu mg \cos(\alpha)) + \mu mg \cos(\alpha)$

$4 = 2 + 2\mu mg \cos(\alpha)$

$2 = 2\mu mg \cos(\alpha)$

$\mu mg \cos(\alpha) = 1 \quad (3)$

Теперь подставим полученный результат (3) обратно в уравнение (2):

$mg \sin(\alpha) = 2 + 1$

$mg \sin(\alpha) = 3 \quad (4)$

Теперь у нас есть два простых уравнения, (3) и (4). Разделим уравнение (4) на (3):

$\frac{mg \sin(\alpha)}{\mu mg \cos(\alpha)} = \frac{3}{1}$

$\frac{\tan(\alpha)}{\mu} = 3 \Rightarrow \tan(\alpha) = 3\mu$

Для нахождения $\mu$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

Вычислим силу тяжести: $mg = 0.5 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 5 \text{ Н}$.

Из уравнений (3) и (4):

$\sin(\alpha) = \frac{3}{mg} = \frac{3}{5} = 0.6$

$\cos(\alpha) = \frac{1}{\mu mg} = \frac{1}{5\mu}$

Подставим в тождество:

$(0.6)^2 + (\frac{1}{5\mu})^2 = 1$

$0.36 + \frac{1}{25\mu^2} = 1$

$\frac{1}{25\mu^2} = 1 - 0.36$

$\frac{1}{25\mu^2} = 0.64$

$1 = 0.64 \cdot 25\mu^2$

$1 = 16\mu^2$

$\mu^2 = \frac{1}{16}$

$\mu = \sqrt{\frac{1}{16}} = 0.25$

Ответ: 0.25.