Номер 25, страница 48 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Динамика - номер 25, страница 48.

Условие.

25. Конический маятник отклонили от вертикали и привели в движение. Определите период обращения маятника, если его высота подвеса по вертикали 125 см.

Решение.

Дано:

Высота подвеса по вертикали $h = 125 \text{ см}$

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:
$h = 125 \text{ см} = 1.25 \text{ м}$

Найти:

Период обращения маятника $T$.

Решение:

Конический маятник — это тело массой $m$, подвешенное на нити, которое движется по горизонтальной окружности радиусом $r$. Высота подвеса $h$ — это расстояние по вертикали от точки подвеса до плоскости вращения.

На тело действуют две силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $T_s$, направленная вдоль нити.

Равнодействующая этих сил является центростремительной силой, которая сообщает телу центростремительное ускорение $a_c$, направленное к центру окружности. Разложим силу натяжения нити на две составляющие: вертикальную $T_y$ и горизонтальную $T_x$.

Пусть $\alpha$ — угол отклонения нити от вертикали. Тогда:

Вертикальная составляющая силы натяжения уравновешивает силу тяжести, так как по вертикали движение отсутствует:

$T_y = T_s \cos{\alpha} = mg$ (1)

Горизонтальная составляющая силы натяжения является центростремительной силой. Согласно второму закону Ньютона:

$T_x = T_s \sin{\alpha} = m a_c$ (2)

Центростремительное ускорение выражается через угловую скорость $\omega$ и радиус окружности $r$ как $a_c = \omega^2 r$. Подставим это в уравнение (2):

$T_s \sin{\alpha} = m \omega^2 r$ (3)

Разделим уравнение (3) на уравнение (1), чтобы исключить неизвестную силу натяжения $T_s$:

$\frac{T_s \sin{\alpha}}{T_s \cos{\alpha}} = \frac{m \omega^2 r}{mg}$

$\tan{\alpha} = \frac{\omega^2 r}{g}$

Из геометрии маятника (прямоугольного треугольника, образованного нитью, вертикалью и радиусом) видно, что тангенс угла $\alpha$ также равен отношению радиуса окружности $r$ к высоте подвеса $h$:

$\tan{\alpha} = \frac{r}{h}$

Приравняем два полученных выражения для тангенса угла:

$\frac{r}{h} = \frac{\omega^2 r}{g}$

Сократив на $r$ (так как для конического маятника $r \neq 0$), получим выражение для квадрата угловой скорости:

$\omega^2 = \frac{g}{h}$

Отсюда угловая скорость равна:

$\omega = \sqrt{\frac{g}{h}}$

Период обращения $T$ связан с угловой скоростью $\omega$ соотношением $T = \frac{2\pi}{\omega}$. Подставим найденное выражение для $\omega$:

$T = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{g}{h}}} = 2\pi \sqrt{\frac{h}{g}}$

Это и есть искомая формула для периода обращения конического маятника. Подставим в нее числовые значения из условия задачи:

$h = 1.25 \text{ м}$

$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

$T = 2\pi \sqrt{\frac{1.25}{9.8}} = 2\pi \sqrt{\frac{125}{980}} = 2\pi \sqrt{\frac{25 \cdot 5}{196 \cdot 5}} = 2\pi \sqrt{\frac{25}{196}}$

$T = 2\pi \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{196}} = 2\pi \frac{5}{14} = \frac{10\pi}{14} = \frac{5\pi}{7} \text{ с}$

Для получения численного ответа, примем значение $\pi \approx 3.14159$:

$T \approx \frac{5 \cdot 3.14159}{7} \approx 2.244 \text{ с}$

Округляя результат до сотых, получаем $T \approx 2.24 \text{ с}$.

Ответ: $T = \frac{5\pi}{7} \text{ с} \approx 2.24 \text{ с}$.