Номер 18, страница 47 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Динамика - номер 18, страница 47.

Условие.

18. Человек массой $60 \, \text{кг}$ сидит в подвесном кресле массой $10 \, \text{кг}$. С каким ускорением он себя поднимает, если сила его давления на кресло составляет $400 \, \text{Н}$?

Решение.

Дано:

Масса человека $m_{ч} = 60 \text{ кг}$

Масса кресла $m_{к} = 10 \text{ кг}$

Сила давления человека на кресло $P = 400 \text{ Н}$

Ускорение свободного падения $g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Найти:

Ускорение $a$

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на человека и на кресло. Так как человек и кресло движутся вместе как единая система, их ускорение $a$ одинаково и направлено вертикально вверх. Направим ось OY также вертикально вверх.

Запишем второй закон Ньютона для человека. На него действуют: сила тяжести $m_ч g$ (направлена вниз), сила реакции опоры $N$ со стороны кресла (направлена вверх) и сила натяжения веревки $T$, за которую он себя поднимает (направлена вверх). В проекции на ось OY уравнение движения будет выглядеть так:

$N + T - m_ч g = m_ч a$

Теперь запишем второй закон Ньютона для кресла. На него действуют: сила тяжести $m_к g$ (направлена вниз), сила давления $P$ со стороны человека (направлена вниз) и сила натяжения веревки $T$ (направлена вверх). В проекции на ось OY:

$T - P - m_к g = m_к a$

Согласно третьему закону Ньютона, сила давления $P$, с которой человек действует на кресло, равна по модулю и противоположна по направлению силе реакции опоры $N$, с которой кресло действует на человека. Таким образом, $N = P$.

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными ($a$ и $T$):

$\begin{cases} P + T - m_ч g = m_ч a & (1) \\ T - P - m_к g = m_к a & (2) \end{cases}$

Для решения системы вычтем из уравнения (1) уравнение (2), чтобы исключить неизвестную силу натяжения $T$:

$(P + T - m_ч g) - (T - P - m_к g) = m_ч a - m_к a$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$P + T - m_ч g - T + P + m_к g = (m_ч - m_к) a$

$2P - (m_ч - m_к)g = (m_ч - m_к) a$

Выразим из полученного уравнения искомое ускорение $a$:

$a = \frac{2P - (m_ч - m_к)g}{m_ч - m_к} = \frac{2P}{m_ч - m_к} - g$

Подставим числовые значения в полученную формулу, приняв ускорение свободного падения $g = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$:

$a = \frac{2 \cdot 400 \text{ Н}}{60 \text{ кг} - 10 \text{ кг}} - 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = \frac{800 \text{ Н}}{50 \text{ кг}} - 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 16 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} - 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 6 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Ответ: $a = 6 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.