Номер 21, страница 47 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Динамика - номер 21, страница 47.

Условие.

21. Определите коэффициент трения между бруском и наклонной плоскостью с углом наклона $\alpha$. При движении бруска вверх с начальной скоростью $v_0$ он поднимается за время $t_1$, а спускается за время $2t_1$.

Решение.

Дано:

Угол наклона плоскости: $\alpha$

Начальная скорость бруска при движении вверх: $v_0$

Время подъема бруска: $t_1$

Время спуска бруска: $t_2 = 2t_1$

Найти:

Коэффициент трения: $\mu$

Решение:

Рассмотрим движение бруска по наклонной плоскости в двух случаях: при движении вверх и при движении вниз. Путь, пройденный бруском вверх до остановки, равен пути, пройденному при спуске.

1. Движение бруска вверх по наклонной плоскости.

На брусок действуют сила тяжести $mg$, сила нормальной реакции опоры $N$ и сила трения скольжения $F_{тр}$. Направим ось OX вдоль наклонной плоскости вверх, а ось OY перпендикулярно ей.

Согласно второму закону Ньютона в проекциях на оси:

OY: $N - mg \cos(\alpha) = 0 \implies N = mg \cos(\alpha)$

Сила трения скольжения, направленная против движения (вниз): $F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos(\alpha)$.

OX: $-mg \sin(\alpha) - F_{тр} = -ma_1$, где $a_1$ – модуль ускорения (замедления) при движении вверх.

Подставим силу трения: $mg \sin(\alpha) + \mu mg \cos(\alpha) = ma_1$.

Отсюда модуль ускорения при подъеме: $a_1 = g(\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha))$.

Брусок поднимается за время $t_1$ до полной остановки. Пройденный путь $L$ можно найти по формуле для равноускоренного движения:

$L = v_0 t_1 - \frac{a_1 t_1^2}{2}$.

Так как конечная скорость равна нулю, $0 = v_0 - a_1 t_1$, откуда $v_0 = a_1 t_1$.

Подставив $v_0$ в формулу для пути, получим: $L = (a_1 t_1) t_1 - \frac{a_1 t_1^2}{2} = \frac{1}{2}a_1 t_1^2$.

Таким образом, путь подъема: $L = \frac{1}{2} g(\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha)) t_1^2$.

2. Движение бруска вниз по наклонной плоскости.

Брусок начинает скользить вниз из состояния покоя. Сила трения теперь направлена вверх, против движения. Направим ось OX вниз вдоль наклонной плоскости.

Второй закон Ньютона в проекции на ось OX:

$mg \sin(\alpha) - F_{тр} = ma_2$, где $a_2$ – ускорение при движении вниз.

Сила трения та же по модулю: $F_{тр} = \mu mg \cos(\alpha)$.

$mg \sin(\alpha) - \mu mg \cos(\alpha) = ma_2$.

Ускорение при спуске: $a_2 = g(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$.

Брусок проходит тот же путь $L$ за время $t_2 = 2t_1$. Так как начальная скорость равна нулю, путь можно найти по формуле:

$L = \frac{a_2 t_2^2}{2} = \frac{a_2 (2t_1)^2}{2} = 2a_2 t_1^2$.

Подставим выражение для $a_2$: $L = 2 g(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha)) t_1^2$.

3. Нахождение коэффициента трения $\mu$.

Приравняем выражения для пути $L$, полученные в пунктах 1 и 2:

$\frac{1}{2} g(\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha)) t_1^2 = 2 g(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha)) t_1^2$.

Сократим общие множители $g t_1^2$ и умножим обе части на 2:

$\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha) = 4(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$.

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с $\mu$ в одной части, а остальные – в другой:

$\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha) = 4\sin(\alpha) - 4\mu \cos(\alpha)$

$\mu \cos(\alpha) + 4\mu \cos(\alpha) = 4\sin(\alpha) - \sin(\alpha)$

$5\mu \cos(\alpha) = 3\sin(\alpha)$

Выразим коэффициент трения $\mu$:

$\mu = \frac{3\sin(\alpha)}{5\cos(\alpha)} = \frac{3}{5} \tan(\alpha)$.

Ответ: $\mu = \frac{3}{5} \tan(\alpha)$.