Номер 20, страница 47 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Динамика - номер 20, страница 47.

Условие.

20. Тело соскальзывает с наклонной плоскости, двигаясь равномерно. На какую высоту оно поднимется, если его толкнуть вдоль наклонной плоскости снизу вверх со скоростью 2,8 м/с?

Решение.

Дано:

Тело соскальзывает с наклонной плоскости равномерно.

Начальная скорость тела при движении вверх $v_0 = 2,8$ м/с.

Найти:

Высоту подъема $h$.

Решение:

Рассмотрим два этапа движения: соскальзывание вниз с постоянной скоростью и движение вверх после толчка.

Сначала рассмотрим случай, когда тело соскальзывает с наклонной плоскости равномерно. Это означает, что его ускорение равно нулю, а значит, равнодействующая всех сил, действующих на тело, равна нулю. Пусть угол наклона плоскости равен $\alpha$. На тело действуют сила тяжести $mg$, сила нормальной реакции $N$ и сила трения скольжения $F_{тр}$.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат. Направим ось OX вдоль наклонной плоскости вниз, а ось OY — перпендикулярно ей.

Проекция на ось OX: $mg \sin \alpha - F_{тр} = 0$

Проекция на ось OY: $N - mg \cos \alpha = 0$

Из этих уравнений следует, что сила трения $F_{тр} = mg \sin \alpha$, а сила нормальной реакции $N = mg \cos \alpha$.

Сила трения скольжения также определяется формулой $F_{тр} = \mu N$, где $\mu$ — коэффициент трения скольжения. Подставив выражения для $F_{тр}$ и $N$, получим:

$mg \sin \alpha = \mu mg \cos \alpha$

Отсюда находим коэффициент трения: $\mu = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha$.

Теперь рассмотрим второй случай: тело толкают снизу вверх со скоростью $v_0$. Оно будет двигаться вверх с замедлением до полной остановки, достигнув некоторой максимальной высоты $h$. Для решения этой части задачи воспользуемся законом сохранения энергии с учётом работы силы трения. Изменение полной механической энергии системы равно работе неконсервативных сил (в данном случае, силы трения).

$\Delta E_{мех} = W_{тр}$

Изменение механической энергии равно разности конечной и начальной энергий:

$\Delta E_{мех} = E_{кон} - E_{нач} = (E_{к,кон} + E_{п,кон}) - (E_{к,нач} + E_{п,нач})$

Примем за нулевой уровень потенциальной энергии начальное положение тела.

Начальная энергия (в момент толчка): $E_{нач} = \frac{1}{2}mv_0^2 + 0 = \frac{1}{2}mv_0^2$.

Конечная энергия (в верхней точке траектории, где $v=0$): $E_{кон} = 0 + mgh = mgh$.

Таким образом, изменение энергии: $\Delta E_{мех} = mgh - \frac{1}{2}mv_0^2$.

Работа силы трения $W_{тр}$ отрицательна, так как сила трения при движении вверх направлена против перемещения (вниз по наклонной плоскости). Она равна $W_{тр} = -F_{тр} \cdot s$, где $s$ — путь, пройденный телом по наклонной плоскости. Этот путь связан с высотой подъема как $s = \frac{h}{\sin \alpha}$.

Модуль силы трения при движении вверх такой же, как и при движении вниз, так как сила нормальной реакции не меняется: $F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos \alpha$. Используя найденное ранее соотношение $\mu = \tan \alpha$, получаем:

$F_{тр} = (\tan \alpha) mg \cos \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} mg \cos \alpha = mg \sin \alpha$.

Тогда работа силы трения:

$W_{тр} = -(mg \sin \alpha) \cdot s = -(mg \sin \alpha) \cdot \frac{h}{\sin \alpha} = -mgh$.

Теперь приравняем изменение энергии и работу силы трения:

$mgh - \frac{1}{2}mv_0^2 = -mgh$

$2mgh = \frac{1}{2}mv_0^2$

Сократив массу $m$, получим:

$4gh = v_0^2$

Отсюда выражаем искомую высоту $h$:

$h = \frac{v_0^2}{4g}$

Подставим числовые значения, приняв ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с²:

$h = \frac{(2,8 \text{ м/с})^2}{4 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2} = \frac{7,84 \text{ м}^2/\text{с}^2}{39,2 \text{ м/с}^2} = 0,2$ м.

Ответ: 0,2 м.