Номер 23, страница 48 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Динамика - номер 23, страница 48.

Условие.

23. Грузовой автомобиль массой 4 т тянет за собой вверх по уклону легковой автомобиль массой 1 т. У легкового автомобиля выключен двигатель. Определите максимальное ускорение движения системы. Коэффициент трения между грузовиком и наклонной плоскостью 0,2. Силой трения качения, действующей на легковой автомобиль, пренебрегите. Угол наклона $ \alpha = \arcsin 0,1 $.

Решение.

Дано:

Масса грузового автомобиля, $m_1 = 4$ т
Масса легкового автомобиля, $m_2 = 1$ т
Коэффициент трения, $\mu = 0.2$
Угол наклона, $\alpha = \arcsin(0.1)$
Сила трения качения легкового автомобиля, $F_{тр2} = 0$

Перевод в систему СИ:
$m_1 = 4000$ кг
$m_2 = 1000$ кг

Найти:

Максимальное ускорение системы, $a_{max}$

Решение:

Рассмотрим систему из двух тел (грузовой и легковой автомобили), движущуюся как единое целое с ускорением $a$. Запишем второй закон Ньютона для всей системы в проекции на оси координат. Направим ось OX вдоль наклонной плоскости вверх, а ось OY перпендикулярно ей.

На систему действуют следующие силы: сила тяжести грузовика ($m_1g$), сила тяжести легкового автомобиля ($m_2g$), сила нормальной реакции опоры для грузовика ($N_1$) и для легкового автомобиля ($N_2$), а также сила тяги грузовика ($F_{тяги}$).

Максимальное ускорение системы достигается при максимальной силе тяги. Максимальная сила тяги, которую может развить автомобиль, ограничена силой сцепления его ведущих колес с дорогой. Будем считать, что эта сила равна максимальной силе трения покоя:

$F_{тяги, max} = \mu N_1$

Здесь $N_1$ — сила нормальной реакции, действующая на грузовик. Запишем уравнение сил в проекции на ось OY для грузовика:

$N_1 - m_1g \cos \alpha = 0$

Отсюда, $N_1 = m_1g \cos \alpha$.

Тогда максимальная сила тяги:

$F_{тяги, max} = \mu m_1g \cos \alpha$

В условии сказано, что коэффициент трения между грузовиком и плоскостью равен 0,2. Мы интерпретируем это как коэффициент, определяющий максимальную силу сцепления. Силами трения качения для грузовика пренебрегаем, так как об этом не сказано, а для легкового автомобиля это указано в условии.

Теперь запишем второй закон Ньютона для всей системы (общей массой $M = m_1 + m_2$) в проекции на ось OX:

$F_{тяги, max} - (m_1+m_2)g \sin \alpha = (m_1+m_2)a_{max}$

Подставим выражение для максимальной силы тяги:

$\mu m_1g \cos \alpha - (m_1+m_2)g \sin \alpha = (m_1+m_2)a_{max}$

Выразим максимальное ускорение $a_{max}$:

$a_{max} = \frac{\mu m_1g \cos \alpha - (m_1+m_2)g \sin \alpha}{m_1+m_2} = \frac{\mu m_1g \cos \alpha}{m_1+m_2} - g \sin \alpha$

Нам известны $\sin \alpha = 0.1$. Найдем $\cos \alpha$ из основного тригонометрического тождества:

$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (0.1)^2} = \sqrt{1 - 0.01} = \sqrt{0.99}$

Подставим числовые значения в формулу для ускорения, приняв $g \approx 9.8$ м/с²:

$a_{max} = \frac{0.2 \cdot 4000 \cdot 9.8 \cdot \sqrt{0.99}}{4000 + 1000} - 9.8 \cdot 0.1$

$a_{max} = \frac{7840 \cdot \sqrt{0.99}}{5000} - 0.98$

$a_{max} = 1.568 \cdot \sqrt{0.99} - 0.98 \approx 1.568 \cdot 0.995 - 0.98$

$a_{max} \approx 1.56 - 0.98 = 0.58$ м/с²

Ответ: $a_{max} \approx 0.58$ м/с².