Номер 29, страница 48 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Динамика. Задачи для повторения - номер 29, страница 48.

Условие.

29. Тело массой 5 кг связано тросом массой 1 кг с телом, масса которого 2 кг. На первое тело действует сила, направленная вертикально вверх, равная 100 Н. Система тел движется вертикально вверх. Определите силу натяжения троса в верхней точке, в нижней точке и в середине троса.

Решение.

Дано:

Масса первого (верхнего) тела, $m_1 = 5 \text{ кг}$

Масса троса, $m_{троса} = 1 \text{ кг}$

Масса второго (нижнего) тела, $m_2 = 2 \text{ кг}$

Приложенная сила, $F = 100 \text{ Н}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Силу натяжения в верхней точке троса, $T_{верх}$

Силу натяжения в нижней точке троса, $T_{низ}$

Силу натяжения в середине троса, $T_{сер}$

Решение:

Поскольку все тела связаны и движутся как единое целое, сначала определим ускорение всей системы. Направим ось OY вертикально вверх.

Согласно второму закону Ньютона для всей системы:

$\vec{F} + (m_1+m_{троса}+m_2)\vec{g} = (m_1+m_{троса}+m_2)\vec{a}$

В проекции на ось OY:

$F - (m_1 + m_{троса} + m_2)g = (m_1 + m_{троса} + m_2)a$

Найдем общую массу системы:

$M = m_1 + m_{троса} + m_2 = 5 \text{ кг} + 1 \text{ кг} + 2 \text{ кг} = 8 \text{ кг}$

Теперь выразим и вычислим ускорение $a$:

$a = \frac{F - Mg}{M} = \frac{100 \text{ Н} - 8 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{8 \text{ кг}} = \frac{100 \text{ Н} - 80 \text{ Н}}{8 \text{ кг}} = \frac{20 \text{ Н}}{8 \text{ кг}} = 2.5 \text{ м/с}^2$

Теперь, зная ускорение, мы можем найти силу натяжения в различных точках троса. Сила натяжения в любой точке троса равна силе, необходимой для подъема с ускорением $a$ всей массы, находящейся ниже этой точки.

в верхней точке

Сила натяжения в верхней точке троса $T_{верх}$ должна поднимать массу троса $m_{троса}$ и массу нижнего тела $m_2$. Запишем второй закон Ньютона для системы "трос + нижнее тело":

$T_{верх} - (m_{троса} + m_2)g = (m_{троса} + m_2)a$

$T_{верх} = (m_{троса} + m_2)(g + a)$

$T_{верх} = (1 \text{ кг} + 2 \text{ кг})(10 \text{ м/с}^2 + 2.5 \text{ м/с}^2) = 3 \text{ кг} \cdot 12.5 \text{ м/с}^2 = 37.5 \text{ Н}$

Ответ: $37.5 \text{ Н}$

в нижней точке

Сила натяжения в нижней точке троса $T_{низ}$ должна поднимать только массу нижнего тела $m_2$. Запишем второй закон Ньютона для нижнего тела:

$T_{низ} - m_2 g = m_2 a$

$T_{низ} = m_2(g + a)$

$T_{низ} = 2 \text{ кг} \cdot (10 \text{ м/с}^2 + 2.5 \text{ м/с}^2) = 2 \text{ кг} \cdot 12.5 \text{ м/с}^2 = 25 \text{ Н}$

Ответ: $25 \text{ Н}$

в середине троса

Сила натяжения в середине троса $T_{сер}$ должна поднимать массу нижнего тела $m_2$ и половину массы троса $(\frac{m_{троса}}{2})$. Запишем второй закон Ньютона для этой части системы:

$T_{сер} - (m_2 + \frac{m_{троса}}{2})g = (m_2 + \frac{m_{троса}}{2})a$

$T_{сер} = (m_2 + \frac{m_{троса}}{2})(g + a)$

$T_{сер} = (2 \text{ кг} + \frac{1 \text{ кг}}{2})(10 \text{ м/с}^2 + 2.5 \text{ м/с}^2) = 2.5 \text{ кг} \cdot 12.5 \text{ м/с}^2 = 31.25 \text{ Н}$

Ответ: $31.25 \text{ Н}$