Номер 26, страница 48 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Динамика - номер 26, страница 48.

Условие.

26. Конический маятник движется с угловой скоростью $\omega$. Определите угол отклонения подвеса от вертикали, если его длина $l$.

Решение.

Дано:

Угловая скорость: $\omega$
Длина подвеса: $l$
Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Угол отклонения подвеса от вертикали: $\alpha$

Решение:

Конический маятник представляет собой тело (шарик) массой $m$, подвешенное на нити длиной $l$ и вращающееся в горизонтальной плоскости с постоянной угловой скоростью $\omega$. Нить при этом описывает коническую поверхность, образуя с вертикалью постоянный угол $\alpha$.

На шарик действуют две силы:

1. Сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.
2. Сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити к точке подвеса.

Равнодействующая этих двух сил сообщает шарику центростремительное ускорение $\vec{a_c}$, которое направлено горизонтально к центру окружности, по которой движется шарик. Согласно второму закону Ньютона:$m\vec{a_c} = \vec{F_g} + \vec{T}$

Для решения задачи введем систему координат. Направим ось OY вертикально вверх, а ось OX – горизонтально к центру окружности. Спроецируем уравнение движения на эти оси:

Проекция на ось OY:Поскольку в вертикальном направлении движение отсутствует, ускорение равно нулю. Сумма проекций сил на эту ось также равна нулю. Вертикальная составляющая силы натяжения $T_y = T \cos(\alpha)$ уравновешивает силу тяжести $mg$.
$T \cos(\alpha) - mg = 0$
$T \cos(\alpha) = mg \quad (1)$

Проекция на ось OX:В горизонтальном направлении на шарик действует только горизонтальная составляющая силы натяжения $T_x = T \sin(\alpha)$, которая и является центростремительной силой.
$T \sin(\alpha) = ma_c \quad (2)$

Центростремительное ускорение $a_c$ выражается через угловую скорость $\omega$ и радиус вращения $R$:$a_c = \omega^2 R$

Радиус вращения $R$ можно найти из геометрии маятника. Он является катетом в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза – длина нити $l$, а угол, противолежащий катету $R$, – это угол $\alpha$.
$R = l \sin(\alpha)$

Подставим выражения для $a_c$ и $R$ в уравнение (2):
$T \sin(\alpha) = m \omega^2 l \sin(\alpha)$

Получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} T \cos(\alpha) = mg \\ T \sin(\alpha) = m \omega^2 l \sin(\alpha) \end{cases}$

Разделим второе уравнение на первое. Это удобный способ исключить силу натяжения $T$.

$\frac{T \sin(\alpha)}{T \cos(\alpha)} = \frac{m \omega^2 l \sin(\alpha)}{mg}$

Сокращаем $T$ и $m$:

$\tan(\alpha) = \frac{\omega^2 l \sin(\alpha)}{g}$

Так как $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$, получаем:

$\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\omega^2 l \sin(\alpha)}{g}$

Если маятник отклонен ($\alpha \neq 0$), то $\sin(\alpha) \neq 0$, и мы можем сократить обе части на $\sin(\alpha)$:

$\frac{1}{\cos(\alpha)} = \frac{\omega^2 l}{g}$

Отсюда выражаем косинус угла отклонения:

$\cos(\alpha) = \frac{g}{\omega^2 l}$

Данное решение имеет физический смысл при условии, что $\cos(\alpha) \le 1$, то есть $\frac{g}{\omega^2 l} \le 1$ или $\omega^2 \ge \frac{g}{l}$. Если угловая скорость меньше этого значения, маятник не отклоняется и вращается в вертикальном положении ($\alpha = 0$).

Ответ: Угол отклонения подвеса от вертикали $\alpha$ определяется соотношением $\cos(\alpha) = \frac{g}{\omega^2 l}$.