Номер 12, страница 46 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Динамика. Задачи для повторения - номер 12, страница 46.

Условие.

12. Под действием груза проволока удлинилась на 1 см. Этот же груз подвесили к проволоке такой же длины из того же материала, но имеющей в 2 раза большую площадь сечения. Чему равно удлинение проволоки?

Решение.

Дано:

Удлинение первой проволоки, $\Delta L_1 = 1 \text{ см}$

Начальная длина первой проволоки, $L_{0,1}$

Начальная длина второй проволоки, $L_{0,2} = L_{0,1}$

Материал проволок одинаков, следовательно, модуль Юнга одинаков, $E_1 = E_2 = E$

Действующая сила (вес груза) одинакова, $F_1 = F_2 = F$

Площадь сечения первой проволоки, $S_1$

Площадь сечения второй проволоки, $S_2 = 2 S_1$

$\Delta L_1 = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Удлинение второй проволоки, $\Delta L_2$

Решение:

Абсолютное удлинение тела при упругой деформации растяжения описывается законом Гука и выражается формулой:

$\Delta L = \frac{F \cdot L_0}{E \cdot S}$

где $F$ – сила, приложенная к телу (в данном случае вес груза), $L_0$ – начальная длина тела, $E$ – модуль упругости (модуль Юнга) материала, а $S$ – площадь поперечного сечения.

Запишем это выражение для первого случая (первая проволока):

$\Delta L_1 = \frac{F \cdot L_{0,1}}{E \cdot S_1}$

Теперь запишем выражение для второго случая, учитывая, что $L_{0,2} = L_{0,1}$, $E$ и $F$ те же, а $S_2 = 2S_1$:

$\Delta L_2 = \frac{F \cdot L_{0,2}}{E \cdot S_2} = \frac{F \cdot L_{0,1}}{E \cdot (2S_1)}$

Мы можем выразить $\Delta L_2$ через $\Delta L_1$. Для этого разделим второе уравнение на первое:

$\frac{\Delta L_2}{\Delta L_1} = \frac{\frac{F \cdot L_{0,1}}{E \cdot 2S_1}}{\frac{F \cdot L_{0,1}}{E \cdot S_1}} = \frac{F \cdot L_{0,1}}{E \cdot 2S_1} \cdot \frac{E \cdot S_1}{F \cdot L_{0,1}} = \frac{1}{2}$

Отсюда следует, что:

$\Delta L_2 = \frac{1}{2} \Delta L_1$

Так как удлинение первой проволоки $\Delta L_1 = 1 \text{ см}$, удлинение второй проволоки будет:

$\Delta L_2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \text{ см} = 0.5 \text{ см}$

Из формулы видно, что удлинение обратно пропорционально площади поперечного сечения. Поскольку площадь увеличилась в 2 раза при тех же условиях, удлинение уменьшилось в 2 раза.

Ответ: $0.5 \text{ см}$.