Номер 9, страница 46 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Динамика - номер 9, страница 46.

Условие.

9. На горизонтальной поверхности стоят санки массой $25 \text{ кг}$. К санкам прикладывают силу $120 \text{ Н}$. Если эта сила направлена под углом $60^\circ$ к горизонту вверх, то санки движутся прямолинейно и равномерно. Чему будет равно ускорение санок, если сила будет приложена под углом $30^\circ$ к горизонту?

Решение.

Дано:

Масса санок, $m = 25$ кг
Прикладываемая сила, $F = 120$ Н
Угол в первом случае, $\alpha_1 = 60^\circ$
Ускорение в первом случае, $a_1 = 0$ (движение равномерное)
Угол во втором случае, $\alpha_2 = 30^\circ$
Ускорение свободного падения, $g = 10$ м/с$^2$ (примем стандартное значение для упрощения расчетов)

Найти:

Ускорение санок во втором случае, $a_2$.

Решение:

Решение задачи состоит из двух этапов. Сначала, используя данные о равномерном движении, мы найдем коэффициент трения скольжения санок о поверхность. Затем, используя этот коэффициент, мы определим ускорение санок во втором случае.

Этап 1: Нахождение коэффициента трения.

Когда санки движутся равномерно, равнодействующая всех приложенных к ним сил равна нулю. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на горизонтальную (OX) и вертикальную (OY) оси. На санки действуют: сила тяжести $m\vec{g}$, сила реакции опоры $\vec{N_1}$, приложенная сила $\vec{F}$ и сила трения скольжения $\vec{F}_{тр1}$.

Проекция на ось OY:
$N_1 + F \sin \alpha_1 - mg = 0$
Из этого уравнения выражаем силу реакции опоры $N_1$:
$N_1 = mg - F \sin \alpha_1$

Проекция на ось OX:
$F \cos \alpha_1 - F_{тр1} = 0$
Следовательно, сила трения равна горизонтальной составляющей приложенной силы:
$F_{тр1} = F \cos \alpha_1$

Сила трения скольжения определяется формулой $F_{тр1} = \mu N_1$, где $\mu$ — коэффициент трения. Подставив выражения для $N_1$ и $F_{тр1}$, получим:
$\mu (mg - F \sin \alpha_1) = F \cos \alpha_1$
Отсюда находим коэффициент трения $\mu$:
$\mu = \frac{F \cos \alpha_1}{mg - F \sin \alpha_1}$

Произведем вычисления:
$\mu = \frac{120 \cdot \cos 60^\circ}{25 \cdot 10 - 120 \cdot \sin 60^\circ} = \frac{120 \cdot 0.5}{250 - 120 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{60}{250 - 60\sqrt{3}} \approx \frac{60}{250 - 103.92} = \frac{60}{146.08} \approx 0.41$

Этап 2: Нахождение ускорения.

Теперь рассмотрим случай, когда сила приложена под углом $\alpha_2 = 30^\circ$. Санки движутся с ускорением $a_2$. Снова запишем второй закон Ньютона в проекциях.

Проекция на ось OY:
$N_2 + F \sin \alpha_2 - mg = 0$
Сила реакции опоры в этом случае $N_2$ будет другой:
$N_2 = mg - F \sin \alpha_2$

Проекция на ось OX:
$F \cos \alpha_2 - F_{тр2} = ma_2$
Сила трения $F_{тр2} = \mu N_2 = \mu (mg - F \sin \alpha_2)$. Коэффициент трения $\mu$ остается тем же. Подставим это выражение в уравнение для оси OX:
$ma_2 = F \cos \alpha_2 - \mu (mg - F \sin \alpha_2)$

Выразим искомое ускорение $a_2$:
$a_2 = \frac{F \cos \alpha_2 - \mu (mg - F \sin \alpha_2)}{m}$

Подставим числовые значения, используя найденное значение $\mu \approx 0.41$:
$a_2 = \frac{120 \cdot \cos 30^\circ - 0.41 \cdot (25 \cdot 10 - 120 \cdot \sin 30^\circ)}{25}$
$a_2 = \frac{120 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0.41 \cdot (250 - 120 \cdot 0.5)}{25} \approx \frac{103.92 - 0.41 \cdot (250 - 60)}{25}$
$a_2 \approx \frac{103.92 - 0.41 \cdot 190}{25} = \frac{103.92 - 77.9}{25} = \frac{26.02}{25} \approx 1.04$ м/с$^2$

Ответ: $a_2 \approx 1.04$ м/с$^2$.