Номер 4, страница 45 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Динамика. Задачи для повторения - номер 4, страница 45.

Условие.

4. Два тела массами $M$ и $m$ ($M > m$) одновременно падают с одинаковой высоты. Одновременно ли они упадут на землю, если сила сопротивления воздуха для обоих тел одинакова и постоянна?

Решение.

Дано:

Масса первого тела: $M$
Масса второго тела: $m$
Условие: $M > m$
Высота падения: $h$
Начальная скорость: $v_0 = 0$
Сила сопротивления воздуха: $F_{сопр}$ (одинакова и постоянна для обоих тел)

Найти:

Одновременно ли тела упадут на землю? (Сравнить время падения $t_M$ и $t_m$)

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на каждое тело в процессе падения. На каждое тело действует сила тяжести, направленная вертикально вниз, и сила сопротивления воздуха, направленная вертикально вверх (против движения).

Запишем второй закон Ньютона для каждого тела в проекции на вертикальную ось, направленную вниз.

Для тела массой $M$:
Результирующая сила $F_{рез, M} = Mg - F_{сопр}$.
Согласно второму закону Ньютона, $F_{рез, M} = Ma_M$.
Отсюда, $Ma_M = Mg - F_{сопр}$.
Выразим ускорение тела массой $M$:
$a_M = \frac{Mg - F_{сопр}}{M} = g - \frac{F_{сопр}}{M}$

Для тела массой $m$:
Результирующая сила $F_{рез, m} = mg - F_{сопр}$.
Согласно второму закону Ньютона, $F_{рез, m} = ma_m$.
Отсюда, $ma_m = mg - F_{сопр}$.
Выразим ускорение тела массой $m$:
$a_m = \frac{mg - F_{сопр}}{m} = g - \frac{F_{сопр}}{m}$

Теперь сравним полученные ускорения $a_M$ и $a_m$.
По условию $M > m$. Из этого следует, что $\frac{1}{M} < \frac{1}{m}$.
Так как $F_{сопр}$ — положительная величина, то $\frac{F_{сопр}}{M} < \frac{F_{сопр}}{m}$.
Домножив неравенство на -1, знак неравенства изменится на противоположный: $-\frac{F_{сопр}}{M} > -\frac{F_{сопр}}{m}$.
Прибавив к обеим частям неравенства ускорение свободного падения $g$, получим:
$g - \frac{F_{сопр}}{M} > g - \frac{F_{сопр}}{m}$
Следовательно, $a_M > a_m$.

Движение тел является равноускоренным, так как действующие силы, а значит и ускорения, постоянны. Время падения с высоты $h$ при начальной скорости, равной нулю, определяется по формуле: $h = \frac{at^2}{2}$, откуда $t = \sqrt{\frac{2h}{a}}$.
Так как высота $h$ для обоих тел одинакова, время падения зависит только от ускорения. Чем больше ускорение, тем меньше время падения.

Поскольку $a_M > a_m$, то время падения тела массой $M$ будет меньше времени падения тела массой $m$:
$t_M < t_m$.

Таким образом, тела не упадут на землю одновременно. Тело с большей массой $M$ упадет первым.

Ответ: Нет, тела не упадут на землю одновременно. Тело с большей массой $M$ приземлится раньше, так как его ускорение будет больше.