Номер 28, страница 45 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Кинематика - номер 28, страница 45.

Условие.

28. Две шестерёнки сцеплены друг с другом и вращаются вокруг неподвижных осей. Отношение периодов вращения шестерёнок равно $T_1 / T_2 = 3$. Радиус меньшей шестерёнки равен $R_{меньшей} = 6 \text{ см}$. Чему равен радиус большой шестерёнки?

Решение.

Дано:

Отношение периодов вращения, $k = \frac{T_2}{T_1} = 3$

Радиус меньшей шестерёнки, $R_1 = 6$ см

Перевод в систему СИ:

$R_1 = 0,06$ м

Найти:

Радиус большей шестерёнки, $R_2$ - ?

Решение:

Когда две шестерёнки сцеплены, линейные скорости точек на их ободах в месте контакта одинаковы. Если бы это было не так, зубья бы проскальзывали или ломались. Обозначим радиус меньшей шестерёнки как $R_1$, а большей — как $R_2$. Их периоды вращения — $T_1$ и $T_2$ соответственно.

Условие равенства линейных скоростей $v_1$ и $v_2$ записывается как:

$v_1 = v_2$

Линейная скорость точки на ободе связана с радиусом $R$ и периодом вращения $T$ формулой:

$v = \frac{2 \pi R}{T}$

Подставим это выражение в условие равенства скоростей для обеих шестерёнок:

$\frac{2 \pi R_1}{T_1} = \frac{2 \pi R_2}{T_2}$

Сократим общий множитель $2 \pi$:

$\frac{R_1}{T_1} = \frac{R_2}{T_2}$

Из этой пропорции можно выразить отношение радиусов:

$\frac{R_2}{R_1} = \frac{T_2}{T_1}$

Это означает, что радиусы шестерёнок относятся так же, как их периоды вращения. По условию, отношение периодов равно 3. Так как большая шестерёнка вращается медленнее, её период $T_2$ больше периода $T_1$ меньшей шестерёнки, поэтому $\frac{T_2}{T_1} = 3$.

Теперь найдём радиус большей шестерёнки $R_2$:

$R_2 = R_1 \cdot \frac{T_2}{T_1}$

Подставим известные значения:

$R_2 = 6 \text{ см} \cdot 3 = 18 \text{ см}$

Ответ: радиус большей шестерёнки равен 18 см.