Номер 23, страница 45 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Кинематика. Задачи для повторения - номер 23, страница 45.

Условие.

23. Под каким углом к горизонту нужно бросить тело, чтобы дальность полёта оказалась равной максимальной высоте подъёма тела?

Решение.

Дано:

Дальность полёта тела $L$ равна его максимальной высоте подъёма $H$.

$L = H$

Найти:

Угол $\alpha$, под которым тело брошено к горизонту.

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно описать стандартными кинематическими формулами. Пренебрегая сопротивлением воздуха, запишем формулы для дальности полёта $L$ и максимальной высоты подъёма $H$.

Дальность полёта тела, брошенного с начальной скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту, определяется по формуле:

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Максимальная высота подъёма для такого движения равна:

$H = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}$

где $g$ — ускорение свободного падения.

Согласно условию задачи, $L = H$. Приравняем выражения для дальности и высоты:

$\frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g} = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}$

Сократим обе части уравнения на общий множитель $\frac{v_0^2}{g}$, так как начальная скорость $v_0$ и ускорение $g$ не равны нулю:

$\sin(2\alpha) = \frac{\sin^2 \alpha}{2}$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

$2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{2}$

Поскольку для осуществления броска угол $\alpha$ должен быть больше нуля, $\sin \alpha \neq 0$. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $\sin \alpha$:

$2 \cos \alpha = \frac{\sin \alpha}{2}$

Из этого соотношения можно найти тангенс угла $\alpha$:

$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha = 4$

Следовательно, искомый угол $\alpha$ равен арктангенсу четырёх:

$\alpha = \arctan(4)$

Это значение примерно равно $75.96^\circ$.

Ответ: Тело нужно бросить под углом $\alpha = \arctan(4) \approx 76^\circ$ к горизонту.