Номер 20, страница 44 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Кинематика - номер 20, страница 44.

Условие.

20. Ракета стартует с Земли и движется с ускорением $20 \text{ м}/\text{с}^2$ вертикально вверх. Через 20 с двигатели отключаются. Через какое время от момента старта ракета упадёт на землю?

Решение.

Дано

Ускорение ракеты, $a = 20 \text{ м/с}^2$
Время работы двигателей, $t_1 = 20 \text{ с}$
Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

Общее время полета, $T$

Решение

Весь полет ракеты можно разделить на два основных этапа: первый – равноускоренное движение вверх с работающими двигателями, и второй – свободный полет под действием силы тяжести после их отключения.

На первом этапе, который длится $t_1 = 20 \text{ с}$, ракета стартует с поверхности Земли ($h_0=0$) из состояния покоя ($v_0=0$) и движется с ускорением $a = 20 \text{ м/с}^2$. К концу этого этапа ракета достигнет высоты $h_1$ и наберет скорость $v_1$. Рассчитаем эти величины.
Высота подъема: $h_1 = h_0 + v_0 t_1 + \frac{a t_1^2}{2} = 0 + 0 \cdot 20 + \frac{20 \cdot (20)^2}{2} = 4000 \text{ м}$.
Скорость в конце этапа: $v_1 = v_0 + a t_1 = 0 + 20 \cdot 20 = 400 \text{ м/с}$.

На втором этапе ракета начинает движение с высоты $h_1 = 4000 \text{ м}$ с начальной скоростью $v_1 = 400 \text{ м/с}$, направленной вверх. Движение происходит с ускорением свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$, направленным вниз. Найдем время $t_2$ этого этапа, то есть время от момента отключения двигателей до падения на землю.

Запишем уравнение координаты ракеты для второго этапа, направив ось OY вертикально вверх с началом на поверхности Земли: $y(t) = h_1 + v_1 t - \frac{g t^2}{2}$.
В момент падения на землю координата $y$ будет равна нулю. Подставим известные значения и найдем время $t_2$:
$0 = 4000 + 400 t_2 - \frac{10 t_2^2}{2}$
$5 t_2^2 - 400 t_2 - 4000 = 0$

Разделим уравнение на 5, чтобы упростить его: $t_2^2 - 80 t_2 - 800 = 0$.
Это квадратное уравнение, решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-80)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-800) = 6400 + 3200 = 9600$.
Корни уравнения: $t_2 = \frac{80 \pm \sqrt{9600}}{2} = \frac{80 \pm \sqrt{1600 \cdot 6}}{2} = \frac{80 \pm 40\sqrt{6}}{2} = 40 \pm 20\sqrt{6}$.

Поскольку время не может быть отрицательной величиной, выбираем положительный корень: $t_2 = 40 + 20\sqrt{6} \text{ с}$.

Общее время полета $T$ – это сумма времени работы двигателей $t_1$ и времени свободного полета $t_2$:
$T = t_1 + t_2 = 20 + (40 + 20\sqrt{6}) = 60 + 20\sqrt{6} \text{ с}$.

Вычислим приближенное значение, приняв $\sqrt{6} \approx 2.45$:
$T \approx 60 + 20 \cdot 2.45 = 60 + 49 = 109 \text{ с}$.

Ответ: общее время полета ракеты от старта до падения на землю составляет $(60 + 20\sqrt{6}) \text{ с}$, что приблизительно равно $109 \text{ с}$.