Номер 22, страница 44 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Кинематика. Задачи для повторения - номер 22, страница 44.

Условие.

22. Аэростат начинает подниматься с земли вертикально с ускорением $0,5 \text{ м/с}^2$. Через 30 с после начала движения аэростата из него выпал предмет без начальной скорости относительно аэростата. Через какое время предмет упал на землю?

Решение.

Дано:

$a = 0,5 \, м/с^2$

$t_1 = 30 \, с$

$v_{0а} = 0 \, м/с$

Примем ускорение свободного падения $g = 10 \, м/с^2$

Найти:

$t_2$ - время падения предмета

Решение:

Задачу можно разделить на два этапа. Сначала найдем высоту и скорость аэростата в момент, когда из него выпал предмет. Затем рассмотрим движение предмета.

1. Движение аэростата. Аэростат движется из состояния покоя равноускоренно. Найдем его скорость $v_1$ и высоту $h$ через время $t_1 = 30 \, с$ после начала движения.

Скорость аэростата в момент времени $t_1$:

$v_1 = v_{0а} + a \cdot t_1 = 0 + 0,5 \, м/с^2 \cdot 30 \, с = 15 \, м/с$.

Высота, на которую поднялся аэростат за это время:

$h = v_{0а} \cdot t_1 + \frac{a \cdot t_1^2}{2} = 0 + \frac{0,5 \, м/с^2 \cdot (30 \, с)^2}{2} = \frac{0,5 \cdot 900}{2} = 225 \, м$.

2. Движение предмета. Когда предмет выпадает из аэростата, он имеет ту же скорость, что и аэростат в этот момент (поскольку его начальная скорость относительно аэростата равна нулю). Таким образом, начальная скорость предмета $v_{0п}$ относительно земли равна $15 \, м/с$ и направлена вертикально вверх. Предмет начинает свое движение с высоты $h = 225 \, м$.

Движение предмета после выпадения является свободным падением с начальной скоростью, направленной вверх. Выберем ось OY, направленную вертикально вверх, с началом на поверхности земли.

Уравнение движения предмета:

$y(t) = h + v_{0п} \cdot t_2 - \frac{g \cdot t_2^2}{2}$,

где $t_2$ - время падения предмета.

Предмет упадет на землю, когда его координата $y(t_2)$ станет равной нулю. Подставим известные значения в уравнение:

$0 = 225 + 15 \cdot t_2 - \frac{10 \cdot t_2^2}{2}$

$0 = 225 + 15 t_2 - 5 t_2^2$

Получили квадратное уравнение. Упорядочим его и разделим на 5 для упрощения:

$5 t_2^2 - 15 t_2 - 225 = 0 \quad | : 5$

$t_2^2 - 3 t_2 - 45 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 9 + 180 = 189$

Корни уравнения:

$t_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{189}}{2}$

Так как время не может быть отрицательным, выбираем корень со знаком плюс:

$t_2 = \frac{3 + \sqrt{189}}{2}$

Вычислим приближенное значение:

$\sqrt{189} \approx 13,75$

$t_2 \approx \frac{3 + 13,75}{2} = \frac{16,75}{2} = 8,375 \, с$

Округлим до десятых: $t_2 \approx 8,4 \, с$.

Ответ: время падения предмета на землю составит примерно 8,4 с.