Номер 25, страница 45 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Кинематика. Задачи для повторения - номер 25, страница 45.

Условие.

25. Стальной шарик свободно падает с высоты 1 м на наклонную плоскость, образующую с горизонтом угол $30^\circ$. Чему равно расстояние между точками первого и второго ударов шарика о наклонную плоскость?

Решение.

Дано:

Высота падения, $h = 1$ м

Угол наклона плоскости, $\alpha = 30°$

Ускорение свободного падения, $g$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Расстояние между точками первого и второго ударов, $L$

Решение:

1. Найдем скорость шарика непосредственно перед первым ударом о наклонную плоскость. Шарик падает свободно с высоты $h$, поэтому его скорость $v_1$ можно найти из закона сохранения энергии или формулы для равноускоренного движения без начальной скорости ($v_0 = 0$):

$v_1^2 = 2gh$

$v_1 = \sqrt{2gh}$

Вектор скорости $\vec{v_1}$ направлен вертикально вниз.

2. Проанализируем удар шарика о наклонную плоскость. Поскольку шарик стальной, будем считать удар абсолютно упругим. Для удобства введем систему координат, связанную с наклонной плоскостью: ось $Ox$ направим вдоль плоскости вниз, а ось $Oy$ — перпендикулярно плоскости вверх от нее.

В этой системе координат вектор ускорения свободного падения $\vec{g}$ имеет компоненты:

$g_x = g \sin\alpha$

$g_y = -g \cos\alpha$

Вектор скорости $\vec{v_1}$ перед ударом составляет угол $\alpha$ с нормалью к плоскости (осью $Oy$). Разложим скорость $\vec{v_1}$ на компоненты перед ударом:

$v_{1,x} = v_1 \sin\alpha$

$v_{1,y} = -v_1 \cos\alpha$

При абсолютно упругом ударе о неподвижную поверхность, составляющая скорости, параллельная поверхности ($v_{1,x}$), не меняется, а составляющая, перпендикулярная поверхности ($v_{1,y}$), меняет знак на противоположный. Таким образом, компоненты скорости $\vec{v'}$ сразу после удара (которые являются начальными для следующего этапа движения) будут:

$v'_{x} = v_{1,x} = v_1 \sin\alpha$

$v'_{y} = -v_{1,y} = v_1 \cos\alpha$

3. Рассмотрим движение шарика между первым и вторым ударами. Это движение тела с начальной скоростью $\vec{v'}$ и ускорением $\vec{a} = (g_x, g_y)$. Запишем уравнения движения для координат $x(t)$ и $y(t)$, где $t=0$ в момент первого удара:

$x(t) = v'_{x} t + \frac{g_x t^2}{2} = (v_1 \sin\alpha) t + \frac{(g \sin\alpha) t^2}{2}$

$y(t) = v'_{y} t + \frac{g_y t^2}{2} = (v_1 \cos\alpha) t - \frac{(g \cos\alpha) t^2}{2}$

Второй удар произойдет в момент времени $T > 0$, когда шарик вернется на плоскость, то есть при $y(T) = 0$.

$(v_1 \cos\alpha) T - \frac{(g \cos\alpha) T^2}{2} = 0$

Вынесем $T$ за скобки:

$T \left( v_1 \cos\alpha - \frac{g \cos\alpha T}{2} \right) = 0$

Поскольку нас интересует момент времени $T \neq 0$, время полета между ударами равно:

$T = \frac{2v_1 \cos\alpha}{g \cos\alpha} = \frac{2v_1}{g}$

4. Расстояние $L$ между точками первого и второго ударов — это расстояние, которое шарик пролетел вдоль оси $Ox$ за время $T$.

$L = x(T) = (v_1 \sin\alpha) T + \frac{(g \sin\alpha) T^2}{2}$

Подставим найденное значение $T$:

$L = (v_1 \sin\alpha) \left(\frac{2v_1}{g}\right) + \frac{g \sin\alpha}{2} \left(\frac{2v_1}{g}\right)^2$

$L = \frac{2v_1^2 \sin\alpha}{g} + \frac{g \sin\alpha}{2} \cdot \frac{4v_1^2}{g^2}$

$L = \frac{2v_1^2 \sin\alpha}{g} + \frac{2v_1^2 \sin\alpha}{g} = \frac{4v_1^2 \sin\alpha}{g}$

Теперь подставим выражение для $v_1^2 = 2gh$:

$L = \frac{4(2gh) \sin\alpha}{g} = 8h \sin\alpha$

5. Вычислим итоговое значение:

$L = 8 \cdot 1 \text{ м} \cdot \sin(30°) = 8 \cdot 1 \cdot 0.5 = 4$ м

Ответ: расстояние между точками первого и второго ударов шарика о наклонную плоскость равно 4 м.