Номер 19, страница 44 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Кинематика - номер 19, страница 44.

Условие.

19. Камень отпустили, и он свободно падает в шахту. Через 6 с услышали звук удара о землю. Скорость звука 330 м/с. Какой глубины была шахта?

Решение.

Дано:

Общее время от момента падения камня до того, как был услышан звук удара: $t = 6$ с

Скорость звука в воздухе: $v_{зв} = 330$ м/с

Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

Глубину шахты $h$.

Решение:

Общее время $t$ состоит из двух промежутков: времени, за которое камень падает на дно шахты ($t_1$), и времени, за которое звук от удара достигает наблюдателя ($t_2$).

$t = t_1 + t_2$

Движение камня — это свободное падение без начальной скорости. Глубина шахты $h$ и время падения $t_1$ связаны соотношением:

$h = \frac{g t_1^2}{2}$

Из этой формулы выразим время падения камня:

$t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Движение звука — равномерное. Время $t_2$, за которое звук проходит расстояние $h$ со скоростью $v_{зв}$, находится по формуле:

$t_2 = \frac{h}{v_{зв}}$

Теперь подставим выражения для $t_1$ и $t_2$ в формулу для общего времени:

$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} + \frac{h}{v_{зв}}$

Подставим в это уравнение известные числовые значения:

$6 = \sqrt{\frac{2h}{9.8}} + \frac{h}{330}$

Для решения этого иррационального уравнения относительно $h$ введем замену переменной. Пусть $x = \sqrt{h}$, тогда $h = x^2$. Уравнение примет вид:

$6 = \sqrt{\frac{2}{9.8}}x + \frac{1}{330}x^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$\frac{1}{330}x^2 + \sqrt{\frac{1}{4.9}}x - 6 = 0$

Коэффициенты этого уравнения: $a = \frac{1}{330}$, $b = \frac{1}{\sqrt{4.9}} \approx 0.452$, $c = -6$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = \left(\frac{1}{\sqrt{4.9}}\right)^2 - 4 \cdot \frac{1}{330} \cdot (-6) = \frac{1}{4.9} + \frac{24}{330} = \frac{10}{49} + \frac{4}{55} = \frac{10 \cdot 55 + 4 \cdot 49}{49 \cdot 55} = \frac{550 + 196}{2695} = \frac{746}{2695} \approx 0.2768$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Поскольку $x = \sqrt{h}$, значение $x$ должно быть положительным, поэтому выбираем корень со знаком плюс.

$x = \frac{-\frac{1}{\sqrt{4.9}} + \sqrt{\frac{746}{2695}}}{2 \cdot \frac{1}{330}} \approx \frac{-0.45175 + 0.52614}{0.00606} \approx \frac{0.07439}{0.00606} \approx 12.27$

Теперь можем найти глубину шахты $h$:

$h = x^2 \approx (12.27)^2 \approx 150.6$ м

Для проверки подставим найденное значение $h$ в исходное уравнение:

$t_1 = \sqrt{\frac{2 \cdot 150.6}{9.8}} \approx \sqrt{30.73} \approx 5.54$ с

$t_2 = \frac{150.6}{330} \approx 0.46$ с

$t = t_1 + t_2 \approx 5.54 + 0.46 = 6.00$ с, что совпадает с условием задачи.

Ответ: глубина шахты составляет примерно $150.6$ м.