Номер 6, страница 46 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Динамика - номер 6, страница 46.

Условие.

6. По горизонтальному участку пути со скоростью 20 м/с движется железнодорожный состав. В некоторый момент времени от состава отцепляется $\frac{1}{3}$ вагонов. Определите скорость головной части состава в тот момент, когда скорость отцепившейся части уменьшится в 2 раза. Сила тяги локомотива при разрыве состава не изменилась. Сила трения пропорциональна силе тяжести и не зависит от скорости.

Решение.

Дано:

Начальная скорость состава, $v_0 = 20$ м/с

Масса отцепившейся части, $M_2 = \frac{1}{3} M_{вагонов}$ (будем считать, что масса отцепившейся части составляет $1/3$ от общей массы всего состава $M$ для упрощения, так как соотношение масс локомотива и вагонов не дано)

Масса отцепившейся части: $m_2 = \frac{1}{3}M$

Масса головной части: $m_1 = \frac{2}{3}M$

Конечная скорость отцепившейся части, $v_2 = \frac{v_0}{2}$

Сила тяги локомотива $F_{тяги}$ - постоянна

Сила трения $F_{тр}$ пропорциональна силе тяжести: $F_{тр} = k \cdot mg$

Найти:

Скорость головной части состава $v_1$ в искомый момент времени.

Решение:

1. До расцепления железнодорожный состав двигался равномерно. Согласно первому закону Ньютона, это означает, что сумма всех действующих на него сил равна нулю. Сила тяги локомотива $F_{тяги}$ была уравновешена общей силой трения $F_{тр.общ}$:

$F_{тяги} = F_{тр.общ}$

Поскольку сила трения пропорциональна силе тяжести (и, следовательно, массе), для всего состава массой $M$ можно записать:

$F_{тяги} = kMg$, где $k$ – коэффициент пропорциональности (коэффициент трения).

2. После отцепления на заднюю часть состава (массой $m_2 = \frac{1}{3}M$) перестает действовать сила тяги. На нее действует только сила трения $F_{тр2}$, направленная против движения. Эта часть начинает двигаться равнозамедленно.

$F_{тр2} = k m_2 g = k (\frac{1}{3}M) g$

Согласно второму закону Ньютона, ускорение (в данном случае замедление) этой части $a_2$ равно:

$m_2 a_2 = -F_{тр2} \implies (\frac{1}{3}M) a_2 = -k (\frac{1}{3}M) g \implies a_2 = -kg$

Найдем время $t$, за которое скорость этой части уменьшится от $v_0$ до $v_2 = v_0 / 2$. Используем формулу скорости для равноускоренного движения:

$v_2 = v_0 + a_2 t \implies \frac{v_0}{2} = v_0 - kgt$

$kgt = v_0 - \frac{v_0}{2} = \frac{v_0}{2}$

$t = \frac{v_0}{2kg}$

3. Головная часть состава (массой $m_1 = M - m_2 = \frac{2}{3}M$) после расцепления продолжает движение под действием неизменной силы тяги $F_{тяги}$ и своей силы трения $F_{тр1}$.

$F_{тр1} = k m_1 g = k (\frac{2}{3}M) g$

Результирующая сила, действующая на головную часть, создает ускорение $a_1$:

$F_{net1} = F_{тяги} - F_{тр1} = kMg - k(\frac{2}{3}M)g = \frac{1}{3}kMg$

По второму закону Ньютона:

$m_1 a_1 = F_{net1} \implies (\frac{2}{3}M) a_1 = \frac{1}{3}kMg$

$a_1 = \frac{\frac{1}{3}kMg}{\frac{2}{3}M} = \frac{1}{2}kg$

4. Теперь определим скорость головной части $v_1$ в тот же самый момент времени $t$, когда скорость отцепившейся части стала $v_2$. Начальная скорость головной части была $v_0$.

$v_1 = v_0 + a_1 t$

Подставим в эту формулу найденные ранее выражения для $a_1$ и $t$:

$v_1 = v_0 + (\frac{1}{2}kg) \cdot (\frac{v_0}{2kg}) = v_0 + \frac{kg \cdot v_0}{4kg} = v_0 + \frac{v_0}{4} = \frac{5}{4}v_0$

Теперь подставим числовое значение начальной скорости $v_0 = 20$ м/с:

$v_1 = \frac{5}{4} \cdot 20 \text{ м/с} = 5 \cdot 5 \text{ м/с} = 25 \text{ м/с}$

Ответ: 25 м/с.