Номер 10, страница 50 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Законы сохранения в механике - номер 10, страница 50.

Условие.

10. Два тела массами $m_1 = 1 \text{ кг}$ и $m_2 = 3 \text{ кг}$ движутся навстречу друг другу со скоростями $v_1 = 4 \text{ м/с}$ и $v_2 = 2v_1$. На сколько градусов нагреется система после абсолютно неупругого удара? Удельная теплоёмкость шаров $2 \cdot 10^3 \text{ Дж/(кг} \cdot \text{К)}$.

Решение.

Дано:

Масса первого тела: $m_1 = 1$ кг
Масса второго тела: $m_2 = 3$ кг
Скорость первого тела: $v_1 = 4$ м/с
Скорость второго тела: $v_2 = 2v_1$
Удельная теплоёмкость тел: $c = 2 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К)

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Изменение температуры системы после удара: $\Delta T$

Решение:

При абсолютно неупругом ударе часть кинетической энергии системы переходит во внутреннюю энергию (теплоту), что приводит к нагреву тел. По закону сохранения энергии, выделившееся количество теплоты $Q$ равно убыли кинетической энергии системы:

$Q = E_{к_{нач}} - E_{к_{кон}}$

Количество теплоты, необходимое для нагревания, определяется формулой:

$Q = c(m_1 + m_2)\Delta T$

Приравняв эти два выражения, можно будет найти искомое изменение температуры $\Delta T$.

1. Найдем начальные скорости и начальную кинетическую энергию системы. Тела движутся навстречу друг другу.

Скорость второго тела: $v_2 = 2v_1 = 2 \cdot 4 \text{ м/с} = 8$ м/с.

Начальная кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий двух тел:

$E_{к_{нач}} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}$

$E_{к_{нач}} = \frac{1 \cdot 4^2}{2} + \frac{3 \cdot 8^2}{2} = \frac{16}{2} + \frac{3 \cdot 64}{2} = 8 + 96 = 104$ Дж.

2. Найдем скорость тел после абсолютно неупругого удара. После такого удара тела движутся вместе как единое целое с общей скоростью $u$. Для нахождения этой скорости воспользуемся законом сохранения импульса. Выберем ось X, направленную в сторону движения первого тела. Тогда скорость второго тела будет иметь отрицательную проекцию.

$m_1 v_1 - m_2 v_2 = (m_1 + m_2)u$

Отсюда выразим конечную скорость $u$:

$u = \frac{m_1 v_1 - m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{1 \cdot 4 - 3 \cdot 8}{1 + 3} = \frac{4 - 24}{4} = \frac{-20}{4} = -5$ м/с.

Знак «минус» показывает, что после удара система будет двигаться в сторону, куда первоначально двигалось второе, более массивное тело.

3. Найдем конечную кинетическую энергию системы.

$E_{к_{кон}} = \frac{(m_1 + m_2)u^2}{2}$

$E_{к_{кон}} = \frac{(1 + 3) \cdot (-5)^2}{2} = \frac{4 \cdot 25}{2} = 50$ Дж.

4. Найдем количество теплоты $Q$, выделившееся в результате удара.

$Q = E_{к_{нач}} - E_{к_{кон}} = 104 \text{ Дж} - 50 \text{ Дж} = 54$ Дж.

5. Теперь найдем, на сколько градусов нагреется система.

$Q = c(m_1 + m_2)\Delta T$

$\Delta T = \frac{Q}{c(m_1 + m_2)} = \frac{54}{2 \cdot 10^3 \cdot (1 + 3)} = \frac{54}{2 \cdot 10^3 \cdot 4} = \frac{54}{8000} = 0.00675$ К.

Так как изменение температуры в градусах Кельвина равно изменению температуры в градусах Цельсия ($\Delta T(K) = \Delta T(^{\circ}C)$), то система нагреется на 0.00675 градусов.

Ответ: система нагреется на $0.00675$ градусов.