Номер 17, страница 50 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Задачи для повторения. Законы сохранения в механике - номер 17, страница 50.

Условие.

17. По внутренней поверхности обруча запускают малое тело со скоростью 2 м/с. Когда это тело поднимается на высоту 30 см, оно отрывается от поверхности обруча. Определите радиус обруча.

Решение.

Дано:

$v_0 = 2$ м/с

$h = 30$ см

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с².

Перевод в систему СИ:

$h = 0.3$ м

Найти:

$R$ — радиус обруча.

Решение:

Движение тела происходит под действием силы тяжести и силы нормальной реакции опоры. Так как сила реакции опоры всегда перпендикулярна скорости тела, она работы не совершает. Трение в задаче не упоминается, поэтому считаем его отсутствующим. В этом случае полная механическая энергия тела сохраняется.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии нижнюю точку обруча. Запишем закон сохранения энергии для двух положений тела: в начальный момент в нижней точке (индекс 0) и в момент отрыва на высоте $h$ (индекс 1).

Полная механическая энергия в начальный момент:

$E_0 = E_{k0} + E_{p0} = \frac{mv_0^2}{2} + 0 = \frac{mv_0^2}{2}$

Полная механическая энергия в момент отрыва, когда скорость тела равна $v$:

$E_1 = E_{k1} + E_{p1} = \frac{mv^2}{2} + mgh$

По закону сохранения энергии $E_0 = E_1$:

$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + mgh$

Сократим массу $m$ и выразим квадрат скорости $v^2$ в момент отрыва:

$v_0^2 = v^2 + 2gh \implies v^2 = v_0^2 - 2gh$ (1)

Теперь рассмотрим условие отрыва тела от поверхности. Отрыв происходит, когда сила нормальной реакции опоры $N$ обращается в ноль. Запишем второй закон Ньютона для тела в проекции на радиальное направление (к центру обруча) в момент отрыва. На этом направлении действуют сила нормальной реакции $N$ и проекция силы тяжести $mg\cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между вертикалью и радиусом, проведенным в точку отрыва. Их равнодействующая создает центростремительное ускорение $a_c = \frac{v^2}{R}$.

$N + mg\cos\alpha = m\frac{v^2}{R}$

В момент отрыва $N = 0$, поэтому:

$mg\cos\alpha = m\frac{v^2}{R}$

$v^2 = gR\cos\alpha$ (2)

Свяжем высоту $h$ с углом $\alpha$ и радиусом $R$. Из геометрии видно, что $h = R - R\cos\alpha = R(1-\cos\alpha)$. Отсюда выразим $\cos\alpha$:

$\cos\alpha = 1 - \frac{h}{R} = \frac{R-h}{R}$

Подставим это выражение для $\cos\alpha$ в уравнение (2):

$v^2 = gR \cdot \frac{R-h}{R} = g(R-h)$

Теперь у нас есть два выражения для $v^2$. Приравняем их правые части:

$v_0^2 - 2gh = g(R-h)$

Раскроем скобки и выразим радиус $R$:

$v_0^2 - 2gh = gR - gh$

$gR = v_0^2 - 2gh + gh$

$gR = v_0^2 - gh$

$R = \frac{v_0^2 - gh}{g}$

Подставим числовые значения из условия:

$R = \frac{(2 \text{ м/с})^2 - 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0.3 \text{ м}}{10 \text{ м/с}^2} = \frac{4 \text{ м}^2/\text{с}^2 - 3 \text{ м}^2/\text{с}^2}{10 \text{ м/с}^2} = \frac{1 \text{ м}^2/\text{с}^2}{10 \text{ м/с}^2} = 0.1 \text{ м}$

Ответ: радиус обруча равен $0.1$ м (или $10$ см).