Номер 18, страница 50 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Законы сохранения в механике. Задачи для повторения - номер 18, страница 50.

Условие.

18. К вертикальной стене при помощи пружины, жёсткость которой $400 \text{ Н/м}$, прикреплён брусок массой $1 \text{ кг}$. Система находится в состоянии покоя. Брусок пробивает пуля, летящая горизонтально. Масса пули $10 \text{ г}$, её начальная скорость $400 \text{ м/с}$, скорость пули после того, как она пробила брусок, стала равна $300 \text{ м/с}$. Определите максимальное сжатие пружины. Силы трения не учитывайте.

Решение.

Дано

k = 400 Н/м

M = 1 кг

m = 10 г = 0.01 кг

v₁ = 400 м/с

v₂ = 300 м/с

Найти:

x_max - ?

Решение

Задачу можно решить в два этапа. На первом этапе рассмотрим процесс соударения пули и бруска, используя закон сохранения импульса, чтобы найти скорость бруска сразу после удара. На втором этапе воспользуемся законом сохранения энергии для системы "брусок-пружина", чтобы найти максимальное сжатие пружины.

1. Процесс соударения пули и бруска происходит за очень малый промежуток времени. В течение этого времени внешними силами (в данном случае силой упругости пружины) можно пренебречь. Следовательно, для системы "пуля-брусок" выполняется закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось.

Импульс системы до столкновения (брусок покоится):

$P_{до} = m v_1 + M \cdot 0 = m v_1$

Импульс системы после столкновения (пуля пробила брусок, и они движутся с разными скоростями):

$P_{после} = m v_2 + M U$

где $U$ — скорость бруска сразу после того, как его пробила пуля.

По закону сохранения импульса:

$m v_1 = m v_2 + M U$

Выразим отсюда скорость бруска $U$:

$M U = m v_1 - m v_2 = m(v_1 - v_2)$

$U = \frac{m(v_1 - v_2)}{M}$

Подставим числовые значения:

$U = \frac{0.01 \text{ кг} \cdot (400 \text{ м/с} - 300 \text{ м/с})}{1 \text{ кг}} = \frac{0.01 \cdot 100}{1} \text{ м/с} = 1 \text{ м/с}$

2. После соударения брусок обладает кинетической энергией и начинает сжимать пружину. Так как силы трения не учитываются, полная механическая энергия системы "брусок-пружина" сохраняется. В момент, когда сжатие пружины будет максимальным ($x_{max}$), скорость бруска станет равной нулю. Вся начальная кинетическая энергия бруска перейдет в потенциальную энергию сжатой пружины.

Запишем закон сохранения энергии:

$E_{к} = E_{п}$

$\frac{M U^2}{2} = \frac{k x_{max}^2}{2}$

Сократим на 2 и выразим $x_{max}$:

$M U^2 = k x_{max}^2$

$x_{max}^2 = \frac{M U^2}{k}$

$x_{max} = \sqrt{\frac{M U^2}{k}} = U \sqrt{\frac{M}{k}}$

Подставим значения:

$x_{max} = 1 \text{ м/с} \cdot \sqrt{\frac{1 \text{ кг}}{400 \text{ Н/м}}} = \sqrt{\frac{1}{400}} \text{ м} = \frac{1}{20} \text{ м} = 0.05 \text{ м}$

Ответ: максимальное сжатие пружины равно $0.05$ м (или 5 см).