Номер 1, страница 51 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Статика. Гидростатика. Задачи для повторения - номер 1, страница 51.

Условие.

1. Однородная балка длиной 12 м лежит на двух опорах в горизонтальном положении. Сила реакции первой опоры, находящейся на конце балки, равна 40 кН. Сила реакции второй опоры, которая расположена на расстоянии 2 м от другого конца, составляет 60 кН. Определите массу этой балки.

Решение.

Дано:

Длина балки, $L = 12$ м

Сила реакции первой опоры, $F_1 = 40$ кН

Сила реакции второй опоры, $F_2 = 60$ кН

Расстояние от второго конца до второй опоры, $d = 2$ м

Перевод в систему СИ:

$F_1 = 40 \times 10^3$ Н = 40000 Н

$F_2 = 60 \times 10^3$ Н = 60000 Н

Найти:

Массу балки, $m$

Решение:

Балка находится в состоянии статического равновесия, так как она покоится в горизонтальном положении. Это означает, что выполняются два условия равновесия:

1. Сумма всех сил, действующих на балку, равна нулю (условие равновесия поступательного движения).

2. Сумма моментов всех сил относительно любой оси вращения равна нулю (условие равновесия вращательного движения).

На балку действуют три вертикальные силы: сила тяжести $F_g$, направленная вниз, и две силы реакции опор $F_1$ и $F_2$, направленные вверх. Поскольку балка однородная, сила тяжести приложена к ее центру масс, который находится посередине балки.

Для нахождения массы балки проще всего использовать первое условие равновесия. Сумма сил, направленных вверх, должна уравновешивать силу, направленную вниз.

Запишем уравнение равновесия сил в проекции на вертикальную ось (направленную вверх):

$F_1 + F_2 - F_g = 0$

Отсюда можем найти силу тяжести, действующую на балку:

$F_g = F_1 + F_2$

Подставим числовые значения:

$F_g = 40000 \text{ Н} + 60000 \text{ Н} = 100000 \text{ Н}$

Сила тяжести связана с массой тела $m$ через ускорение свободного падения $g$ по формуле $F_g = mg$.

Выразим массу балки:

$m = \frac{F_g}{g}$

Примем значение ускорения свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

$m = \frac{100000 \text{ Н}}{10 \text{ м/с}^2} = 10000 \text{ кг}$

Таким образом, масса балки составляет 10000 кг, что эквивалентно 10 тоннам.

Проверка через условие равновесия моментов:

Для проверки можно составить уравнение моментов сил относительно одной из опор, например, первой опоры, находящейся на левом конце балки (примем эту точку за начало координат). Момент силы реакции $F_1$ будет равен нулю. Сила тяжести $F_g$ приложена на расстоянии $L/2 = 12/2 = 6$ м от опоры и создает вращающий момент по часовой стрелке (отрицательный). Сила реакции второй опоры $F_2$ приложена на расстоянии $L-d = 12 - 2 = 10$ м от первой опоры и создает вращающий момент против часовой стрелки (положительный).

Уравнение моментов:

$\sum M_1 = F_2 \cdot (L-d) - F_g \cdot \frac{L}{2} = 0$

$60000 \text{ Н} \cdot 10 \text{ м} - F_g \cdot 6 \text{ м} = 0$

$F_g \cdot 6 \text{ м} = 600000 \text{ Н} \cdot \text{м}$

$F_g = \frac{600000 \text{ Н} \cdot \text{м}}{6 \text{ м}} = 100000 \text{ Н}$

Результат для силы тяжести совпал, что подтверждает верность расчетов.

Ответ:

Масса балки равна $10000$ кг (или $10$ т).